Каков будет вес шарика, сделанного из того же металла, но имеющего втрое меньший радиус, если металлический шар весит

Puma

48

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать пропорцию между объемами шариков. Объем шара пропорционален кубу его радиуса. Давайте обозначим \(V_1\) и \(V_2\) объемы первого и второго шариков соответственно, \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы первого и второго шариков соответственно.

Так как металл для обоих шаров одинаковый, мы можем сказать, что масса шариков будет пропорциональна их объемам. Обозначим массу первого шарика как \(m_1\) и массу второго шарика как \(m_2\).

Теперь у нас есть радиус \(r_1\) первого шарика, его масса \(m_1\) и известно, что \(m_1 = 540\) граммам. Мы также знаем, что второй шарик имеет втрое меньший радиус, поэтому \(r_2 = \frac{r_1}{3}\).

Мы также знаем, что объем шара можно выразить, используя его радиус: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).

Используя все эти данные и пропорции, мы можем записать следующую формулу:

\[\frac{m_1}{V_1} = \frac{m_2}{V_2}\]

Подставим значения и найдем \(V_2\):

\[\frac{m_1}{\frac{4}{3}\pi r_1^3} = \frac{m_2}{\frac{4}{3}\pi r_2^3}\]

Подставляем значения \(r_2 = \frac{r_1}{3}\) и \(m_1 = 540\) грамм:

\[\frac{540}{\frac{4}{3}\pi r_1^3} = \frac{m_2}{\frac{4}{3}\pi \left(\frac{r_1}{3}\right)^3}\]

Упростим:

\[\frac{540}{\frac{4}{3}\pi r_1^3} = \frac{m_2}{\frac{4}{3}\pi \frac{r_1^3}{27}}\]

Теперь можно сократить дроби и упростить выражение:

\[\frac{540}{\frac{4}{3}\pi r_1^3} = \frac{m_2}{\frac{4}{3}\pi \frac{r_1^3}{27}}\]

\[\frac{3 \cdot 540}{4 \pi r_1^3} = \frac{27 m_2}{4\pi r_1^3}\]

Поскольку объемы шаров пропорциональны их массам:

\[\frac{3 \cdot 540}{4 \pi r_1^3} = \frac{27 m_2}{4\pi r_1^3}\]

Можем упростить еще:

\[3 \cdot 540 = 27 m_2\]

\[m_2 = \frac{3\cdot 540}{27} = \frac{1620}{27} = 60\]

Таким образом, масса шарика с втрое меньшим радиусом будет 60 граммов.