Каков будет закон движения материальной точки массой m = 1, движущейся по прямой под воздействием силы, меняющейся

Letuchaya

60

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о законе движения материальной точки и о том, как связаны сила и ускорение.

Закон движения материальной точки может быть описан уравнением движения:

\[m \cdot a(t) = f(t),\]

где \(m\) - масса точки, \(a(t)\) - ускорение, а \(f(t)\) - сила, действующая на точку в момент времени \(t\).

Для решения задачи нам нужно найти закон движения точки. Для этого будем интегрировать уравнение движения.

Учитывая, что \(a(t) = \frac{{dv}}{{dt}}\) (ускорение - это производная скорости по времени), уравнение движения можно записать в виде:

\[m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} = f(t).\]

Мы знаем, что сила \(f(t) = 8 - 12t\). Подставим это значение в уравнение движения и разделим обе части на массу \(m = 1\):

\[\frac{{dv}}{{dt}} = 8 - 12t.\]

Теперь проведем интегрирование с обеих сторон уравнения по переменной времени \(t\):

\[\int \frac{{dv}}{{dt}} \, dt = \int (8 - 12t) \, dt.\]

Интегрируя левую часть по переменной времени \(t\), получаем \(v(t)\), а правая часть перепишется в виде уравнения:

\[v(t) = 8t - 6t^2 + C,\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь нам нужно использовать начальные условия, чтобы найти значение постоянной \(C\).

Мы знаем, что при \(t = 0\) координата точки равна 0 и скорость равна 1. То есть, вставляя значения \(t = 0\), \(v(t) = 1\) в уравнение, мы получаем:

\[1 = 8 \cdot 0 - 6 \cdot 0^2 + C,\]

\[1 = C.\]

Таким образом, уравнение движения принимает вид:

\[v(t) = 8t - 6t^2 + 1.\]

Чтобы найти момент времени, когда скорость достигает своего максимального значения, нам нужно найти максимальное значение функции \(v(t)\).

Мы замечаем, что это квадратное уравнение, и для нахождения его максимального значения можно воспользоваться тем фактом, что это парабола с ветвями, направленными вниз. Координата вершины параболы дает нам максимальное значение функции.

Чтобы найти вершину параболы, нам нужно найти \(t\)-координату вершины. Формула для \(t\)-координаты вершины параболы имеет вид:

\[t_{max} = -\frac{b}{2a},\]

где в нашем случае \(a = -6\) и \(b = 8\).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[t_{max} = -\frac{8}{2 \cdot (-6)} = \frac{4}{3}.\]

Таким образом, максимальное значение скорости будет достигнуто в момент времени \(t = \frac{4}{3}\).

Для нашей точки это означает, что скорость достигнет своего максимального значения через \(t = \frac{4}{3}\) времени после начального момента \(t = 0\).

Поэтому, закон движения материальной точки массой \(m = 1\) будет выглядеть следующим образом:

\[v(t) = 8t - 6t^2 + 1,\]

а момент времени, когда скорость достигнет своего максимального значения, будет \(t = \frac{4}{3}\).