Какова вероятность того, что ученику придется дать правильный ответ не более 4 раз, так как он забыл последнюю цифру

Совунья

42

Чтобы решить данную задачу, нам нужно определить вероятность того, что ученик даст правильный ответ не более 4 раз.

Перед тем, как приступить к решению, давайте установим некоторые факты: куликовская битва произошла 8 сентября 1380 года.

Вероятность правильного ответа при угадывании одного числа составляет \( p = \frac{1}{10} \), так как мы имеем 10 различных цифр от 0 до 9.

Для определения вероятности того, что ученик даст правильный ответ не более 4 раз, мы можем использовать биномиальное распределение.

Допустим, ученику придется ответить 4 раза. Чтобы определить вероятность этого события, мы можем использовать формулу биномиального распределения:

\[ P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:
- \( P(X=k) \) - вероятность того, что событие произойдет ровно \( k \) раз,
- \( n \) - общее количество испытаний (в данном случае, количество ответов ученика),
- \( k \) - количество успехов (в данном случае, правильных ответов),
- \( p \) - вероятность успеха в каждом испытании (вероятность правильного ответа при угадывании одного числа).

Используя данную формулу, мы можем вычислить вероятность получить 4 правильных ответа.

\[ P(X=4) = \binom{4}{4} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^4 \cdot \left(1-\frac{1}{10}\right)^{4-4} \]

После вычислений получаем:

\[ P(X=4) = \binom{4}{4} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^4 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^0 \]
\[ P(X=4) = \left(\frac{1}{10}\right)^4 \cdot 1 \]
\[ P(X=4) = \left(\frac{1}{10}\right)^4 \]

Теперь мы можем рассмотреть случай, когда ученику придется дать правильный ответ 3 раза.

\[ P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^3 \cdot \left(1-\frac{1}{10}\right)^{4-3} \]
\[ P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^3 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^1 \]

Подставляя значения и приводя выражение к числовому виду, получаем:

\[ P(X=3) = 4 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^3 \cdot \frac{9}{10} \]
\[ P(X=3) = \frac{4}{10^3} \cdot \frac{9}{10} \]
\[ P(X=3) = \frac{4 \cdot 9}{10^3 \cdot 10} \]
\[ P(X=3) = \frac{36}{10^3 \cdot 10} \]
\[ P(X=3) = \frac{36}{10^4} \]

Теперь мы можем рассмотреть случай, когда ученику придется дать правильный ответ 2 раза.

\[ P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^2 \cdot \left(1-\frac{1}{10}\right)^{4-2} \]
\[ P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^2 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^2 \]

Подставляя значения и приводя выражение к числовому виду, получаем:

\[ P(X=2) = 6 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^2 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^2 \]
\[ P(X=2) = \frac{6}{10^2} \cdot \frac{81}{10^2} \]
\[ P(X=2) = \frac{6 \cdot 81}{10^2 \cdot 10^2} \]
\[ P(X=2) = \frac{486}{10^2 \cdot 10^2} \]
\[ P(X=2) = \frac{486}{10^4} \]

Конечно, мы также должны рассмотреть случай, когда ученику придется дать правильный ответ всего один раз.

\[ P(X=1) = \binom{4}{1} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^1 \cdot \left(1-\frac{1}{10}\right)^{4-1} \]
\[ P(X=1) = \binom{4}{1} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^3 \]

Подставляя значения и приводя выражение к числовому виду, получаем:

\[ P(X=1) = 4 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^3 \]
\[ P(X=1) = \frac{4}{10^1} \cdot \frac{729}{10^3} \]
\[ P(X=1) = \frac{4 \cdot 729}{10^1 \cdot 10^3} \]
\[ P(X=1) = \frac{2916}{10^1 \cdot 10^3} \]
\[ P(X=1) = \frac{2916}{10^4} \]

Теперь мы можем посчитать общую вероятность того, что ученик даст правильный ответ не более 4 раз.

\[ P(X \leq 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \]

Подставляя значения, получаем:

\[ P(X \leq 4) = 0 + \frac{2916}{10^4} + \frac{486}{10^4} + \frac{36}{10^4} + \left(\frac{1}{10}\right)^4 \]

Суммируя числовые значения, получаем:

\[ P(X \leq 4) = \frac{2916+486+36+1}{10^4} \]
\[ P(X \leq 4) = \frac{3439}{10^4} \]

Таким образом, вероятность того, что ученик даст правильный ответ не более 4 раз в данной задаче, составляет \(\frac{3439}{10^4}\).