Каков диаметр дисков плоского конденсатора, если расстояние между ними составляет 0,4мм и они заполнены диэлектриком

Сказочный_Факир

35

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулу для емкости плоского конденсатора \( C = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot S}}{d} \), где \( C \) - емкость конденсатора, \( \varepsilon_0 \) - электрическая постоянная (равна 8,85 * 10^-12 Ф/м), \( \varepsilon_r \) - относительная диэлектрическая проницаемость, \( S \) - площадь пластин конденсатора, \( d \) - расстояние между пластинами.

Определим диаметр дисков плоского конденсатора. Пусть \( D \) - диаметр дисков.

Так как диаметр - это двойное расстояние от центра до края, то можно записать: \( D = 2r \), где \( r \) - радиус диска.

Теперь продолжим с использованием данной информации.

Первый шаг: Определение диаметра дисков:

1. Запишем формулу для емкости плоского конденсатора: \( C = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot S}}{d} \).

2. Подставим известные значения: \( C = \frac{{8,85 \cdot 10^{-12} \cdot e \cdot S}}{{0,4 \cdot 10^{-3}}} \) (единицы измерения уже приведены к СИ).

3. Раскроем знаменатель: \( C = \frac{{8,85 \cdot 10^{-12} \cdot e \cdot S}}{{4 \cdot 10^{-4}}} \).

4. Умножим обе части уравнения на \( 4 \cdot 10^{-4} \), чтобы избавиться от знаменателя: \( C \cdot (4 \cdot 10^{-4}) = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot e \cdot S \).

5. Обозначим \( K = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot e \) (константа).

6. Получим уравнение: \( C \cdot (4 \cdot 10^{-4}) = K \cdot S \).

7. Выразим площадь пластин: \( S = \frac{{C \cdot (4 \cdot 10^{-4})}}{{K}} \).

8. Зная, что площадь пластин круга \( S = \pi \cdot r^2 \), можем записать: \( \pi \cdot r^2 = \frac{{C \cdot (4 \cdot 10^{-4})}}{{K}} \).

9. Решим это уравнение относительно радиуса \( r \): \( r^2 = \frac{{C \cdot (4 \cdot 10^{-4})}}{{K \cdot \pi}} \).

10. Возведем обе части уравнения в квадратный корень: \( r = \sqrt{\frac{{C \cdot (4 \cdot 10^{-4})}}{{K \cdot \pi}}} \).

11. Найдем диаметр \( D \), умножив радиус \( r \) на 2: \( D = 2 \cdot \sqrt{\frac{{C \cdot (4 \cdot 10^{-4})}}{{K \cdot \pi}}} \).

Таким образом, диаметр дисков плоского конденсатора составляет \( D = 2 \cdot \sqrt{\frac{{C \cdot (4 \cdot 10^{-4})}}{{K \cdot \pi}}} \).

Далее, нам нужно определить, как изменится емкость конденсатора, если все его линейные размеры увеличатся в 1,5 раза.

Второй шаг: Изменение емкости конденсатора при увеличении линейных размеров.

1. Запишем формулу для емкости плоского конденсатора: \( C = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot S}}{d} \).

2. Поскольку все линейные размеры конденсатора увеличатся в 1,5 раза, то и площадь пластин \( S \) увеличится в квадрате (так как площадь круга пропорциональна квадрату радиуса), а расстояние \( d \) увеличится в том же коэффициенте 1,5.

3. Обозначим новый диаметр дисков как \( D" \) и новое расстояние между ними как \( d" \).

4. Тогда новая площадь пластин будет равна: \( S" = (1,5 \cdot D)^2 \).

5. А новое расстояние между пластинами будет равно: \( d" = 1,5 \cdot d \).

6. Подставим значения в формулу для емкости: \( C" = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot S"}}{{d"}} \).

7. Подставим выражения для новой площади пластин и нового расстояния: \( C" = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot (1,5 \cdot D)^2}}{{1,5 \cdot d}} \).

8. Сократим коэффициенты: \( C" = \frac{{1,5^2 \cdot \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot D^2}}{{1,5 \cdot d}} \).

9. Упростим выражение: \( C" = 1,5 \cdot \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot D^2}}{{d}} \).

Таким образом, новая емкость конденсатора будет равна \( C" = 1,5 \cdot \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot D^2}}{{d}} \).

Альтернативный ответ: Пользуясь данными из задачи, можно найти диаметр дисков плоского конденсатора равный \[D = 2 \cdot \sqrt{\frac{{C \cdot (4 \cdot 10^{-4})}}{{K \cdot \pi}}}\] и изменение емкости конденсатора при увеличении линейных размеров равное \[C" = 1,5 \cdot \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot D^2}}{{d}}\].

Обратите внимание, что ответы приведены с использованием данных формул и соответствующих замен. Процесс расчета подробно объяснен для понимания и лучшего усвоения материала.