Каков диаметр однородного диска, массой 0,4 кг, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр

  • 26
Каков диаметр однородного диска, массой 0,4 кг, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости? Приложенная к касательной к ободу диска сила составляет 0,3 Н, а угловая скорость диска изменяется со временем по закону: ω = 2 + 6t (рад/с).
Milashka
36
Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые физические законы, включая законы движения твердого тела. Давайте начнем с того, что задана масса диска, равная 0,4 кг.

Будем считать этот диск однородным, что означает, что его масса распределена равномерно по всей площади диска. Также у нас есть факт, что диск вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости.

Согласно закону сохранения момента импульса, момент импульса \(L\) тела равен произведению его массы \(m\) на угловую скорость \(\omega\) и его момент инерции \(I\):

\[L = I \cdot \omega\]

Момент инерции \(I\) для однородного диска с известной массой и диаметром можно вычислить по формуле:

\[I = \frac{1}{4} \cdot m \cdot R^2\]

где \(R\) - радиус диска.

Нам нужно найти диаметр диска. Для начала, найдем момент инерции \(I\):

\[I = \frac{1}{4} \cdot 0,4 \, \text{кг} \cdot R^2\]

Теперь мы знаем, что приложенная касательная сила равна 0,3 Н. Мы можем связать эту силу с ускорением вращения диска, которое определяется производной угловой скорости по времени:

\[\tau = I \cdot \alpha\]

где \(\tau\) - момент силы, \(\alpha\) - угловое ускорение.

Момент силы можно выразить как произведение приложенной силы на радиус \(r\), на котором эта сила приложена. В данном случае, речь идет о касательной силе, поэтому радиусом будет являться радиус диска \(R\):

\[\tau = F \cdot R\]

Сочетая эти два уравнения и заменяя момент инерции \(I\) вторым уравнением, получим:

\[F \cdot R = \frac{1}{4} \cdot 0,4 \, \text{кг} \cdot R^2 \cdot \alpha\]

Теперь нам известно, что угловая скорость \(\omega\) изменяется со временем по закону \(\omega = 2 + 6t\) рад/с. Угловое ускорение \(\alpha\) представляет собой производную угловой скорости по времени:

\[\alpha = \frac{d\omega}{dt}\]

Считая, что \(\omega\) является функцией времени \(t\), возьмем производную относительно \(t\) от формулы \(\omega = 2 + 6t\):

\[\alpha = \frac{d}{dt}(2 + 6t)\]

Производная константы равна нулю, поэтому:

\[\alpha = 6 \, \text{рад/с}^2\]

Теперь, имея значение углового ускорения \(\alpha\), мы можем решить уравнение, связывающее силу и радиус:

\[0,3 \, \text{Н} \cdot R = \frac{1}{4} \cdot 0,4 \, \text{кг} \cdot R^2 \cdot 6 \, \text{рад/с}^2\]

Поделим обе части уравнения на \(R\) и упростим:

\[0,3 \, \text{Н} = \frac{1}{4} \cdot 0,4 \, \text{кг} \cdot R \cdot 6 \, \text{рад/с}^2\]

\[\frac{0,3 \, \text{Н}}{0,24 \, \text{кг} \cdot \text{рад/с}^2} = R\]

\[R = 1,25 \, \text{м}\]

Наконец, диаметр \(D\) вычисляется как удвоенное значение радиуса:

\[D = 2 \cdot R\]

\[D = 2 \cdot 1,25 \, \text{м} = 2,5 \, \text{м}\]

Таким образом, диаметр однородного диска, массой 0,4 кг, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости, составляет 2,5 метра.