Каков диаметр однородного диска, массой 0,4 кг, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр

Milashka

36

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые физические законы, включая законы движения твердого тела. Давайте начнем с того, что задана масса диска, равная 0,4 кг.

Будем считать этот диск однородным, что означает, что его масса распределена равномерно по всей площади диска. Также у нас есть факт, что диск вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости.

Согласно закону сохранения момента импульса, момент импульса \(L\) тела равен произведению его массы \(m\) на угловую скорость \(\omega\) и его момент инерции \(I\):

\[L = I \cdot \omega\]

Момент инерции \(I\) для однородного диска с известной массой и диаметром можно вычислить по формуле:

\[I = \frac{1}{4} \cdot m \cdot R^2\]

где \(R\) - радиус диска.

Нам нужно найти диаметр диска. Для начала, найдем момент инерции \(I\):

\[I = \frac{1}{4} \cdot 0,4 \, \text{кг} \cdot R^2\]

Теперь мы знаем, что приложенная касательная сила равна 0,3 Н. Мы можем связать эту силу с ускорением вращения диска, которое определяется производной угловой скорости по времени:

\[\tau = I \cdot \alpha\]

где \(\tau\) - момент силы, \(\alpha\) - угловое ускорение.

Момент силы можно выразить как произведение приложенной силы на радиус \(r\), на котором эта сила приложена. В данном случае, речь идет о касательной силе, поэтому радиусом будет являться радиус диска \(R\):

\[\tau = F \cdot R\]

Сочетая эти два уравнения и заменяя момент инерции \(I\) вторым уравнением, получим:

\[F \cdot R = \frac{1}{4} \cdot 0,4 \, \text{кг} \cdot R^2 \cdot \alpha\]

Теперь нам известно, что угловая скорость \(\omega\) изменяется со временем по закону \(\omega = 2 + 6t\) рад/с. Угловое ускорение \(\alpha\) представляет собой производную угловой скорости по времени:

\[\alpha = \frac{d\omega}{dt}\]

Считая, что \(\omega\) является функцией времени \(t\), возьмем производную относительно \(t\) от формулы \(\omega = 2 + 6t\):

\[\alpha = \frac{d}{dt}(2 + 6t)\]

Производная константы равна нулю, поэтому:

\[\alpha = 6 \, \text{рад/с}^2\]

Теперь, имея значение углового ускорения \(\alpha\), мы можем решить уравнение, связывающее силу и радиус:

\[0,3 \, \text{Н} \cdot R = \frac{1}{4} \cdot 0,4 \, \text{кг} \cdot R^2 \cdot 6 \, \text{рад/с}^2\]

Поделим обе части уравнения на \(R\) и упростим:

\[0,3 \, \text{Н} = \frac{1}{4} \cdot 0,4 \, \text{кг} \cdot R \cdot 6 \, \text{рад/с}^2\]

\[\frac{0,3 \, \text{Н}}{0,24 \, \text{кг} \cdot \text{рад/с}^2} = R\]

\[R = 1,25 \, \text{м}\]

Наконец, диаметр \(D\) вычисляется как удвоенное значение радиуса:

\[D = 2 \cdot R\]

\[D = 2 \cdot 1,25 \, \text{м} = 2,5 \, \text{м}\]

Таким образом, диаметр однородного диска, массой 0,4 кг, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости, составляет 2,5 метра.