Каков диаметр однородного диска, массой 0,4 кг, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр
Каков диаметр однородного диска, массой 0,4 кг, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости? Приложенная к касательной к ободу диска сила составляет 0,3 Н, а угловая скорость диска изменяется со временем по закону: ω = 2 + 6t (рад/с).
Milashka 36
Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые физические законы, включая законы движения твердого тела. Давайте начнем с того, что задана масса диска, равная 0,4 кг.Будем считать этот диск однородным, что означает, что его масса распределена равномерно по всей площади диска. Также у нас есть факт, что диск вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости.
Согласно закону сохранения момента импульса, момент импульса \(L\) тела равен произведению его массы \(m\) на угловую скорость \(\omega\) и его момент инерции \(I\):
\[L = I \cdot \omega\]
Момент инерции \(I\) для однородного диска с известной массой и диаметром можно вычислить по формуле:
\[I = \frac{1}{4} \cdot m \cdot R^2\]
где \(R\) - радиус диска.
Нам нужно найти диаметр диска. Для начала, найдем момент инерции \(I\):
\[I = \frac{1}{4} \cdot 0,4 \, \text{кг} \cdot R^2\]
Теперь мы знаем, что приложенная касательная сила равна 0,3 Н. Мы можем связать эту силу с ускорением вращения диска, которое определяется производной угловой скорости по времени:
\[\tau = I \cdot \alpha\]
где \(\tau\) - момент силы, \(\alpha\) - угловое ускорение.
Момент силы можно выразить как произведение приложенной силы на радиус \(r\), на котором эта сила приложена. В данном случае, речь идет о касательной силе, поэтому радиусом будет являться радиус диска \(R\):
\[\tau = F \cdot R\]
Сочетая эти два уравнения и заменяя момент инерции \(I\) вторым уравнением, получим:
\[F \cdot R = \frac{1}{4} \cdot 0,4 \, \text{кг} \cdot R^2 \cdot \alpha\]
Теперь нам известно, что угловая скорость \(\omega\) изменяется со временем по закону \(\omega = 2 + 6t\) рад/с. Угловое ускорение \(\alpha\) представляет собой производную угловой скорости по времени:
\[\alpha = \frac{d\omega}{dt}\]
Считая, что \(\omega\) является функцией времени \(t\), возьмем производную относительно \(t\) от формулы \(\omega = 2 + 6t\):
\[\alpha = \frac{d}{dt}(2 + 6t)\]
Производная константы равна нулю, поэтому:
\[\alpha = 6 \, \text{рад/с}^2\]
Теперь, имея значение углового ускорения \(\alpha\), мы можем решить уравнение, связывающее силу и радиус:
\[0,3 \, \text{Н} \cdot R = \frac{1}{4} \cdot 0,4 \, \text{кг} \cdot R^2 \cdot 6 \, \text{рад/с}^2\]
Поделим обе части уравнения на \(R\) и упростим:
\[0,3 \, \text{Н} = \frac{1}{4} \cdot 0,4 \, \text{кг} \cdot R \cdot 6 \, \text{рад/с}^2\]
\[\frac{0,3 \, \text{Н}}{0,24 \, \text{кг} \cdot \text{рад/с}^2} = R\]
\[R = 1,25 \, \text{м}\]
Наконец, диаметр \(D\) вычисляется как удвоенное значение радиуса:
\[D = 2 \cdot R\]
\[D = 2 \cdot 1,25 \, \text{м} = 2,5 \, \text{м}\]
Таким образом, диаметр однородного диска, массой 0,4 кг, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости, составляет 2,5 метра.