Каков диаметр тени диска и во сколько раз площадь тени больше площади диска, если точечный источник света освещает

Таинственный_Маг

28

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства подобных треугольников и формулу площади круга.

Обозначим радиус диска как \(R\), а радиус тени как \(r\). Из условия задачи известно, что \(R = 73\) мм.

Теперь перейдем к нахождению диаметра тени. Для этого надо определить соотношение между радиусами диска и тени. Нам дано, что расстояние от источника света до диска составляет 3,9 раза меньше, чем расстояние от диска до экрана, на котором наблюдатель видит тень. Обозначим расстояние от источника до диска как \(d_1\), а расстояние от диска до экрана как \(d_2\). Тогда у нас есть следующее соотношение:

\[d_1 = \dfrac{1}{3.9} d_2\]

Также можно заметить, что треугольники, образованные источником света, диском и тенью, подобны. Это означает, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Из этого можно сделать следующее уравнение:

\[\dfrac{r}{R} = \dfrac{d_1}{d_2}\]

Теперь можно выразить радиус тени \(r\) через известные значения. Подставим значение \(R = 73\) мм и соотношение \(d_1 = \dfrac{1}{3.9} d_2\):

\[\dfrac{r}{73} = \dfrac{\dfrac{1}{3.9} d_2}{d_2}\]

Упрощаем выражение:

\[\dfrac{r}{73} = \dfrac{1}{3.9}\]

Теперь найдем радиус тени \(r\):

\[r = \dfrac{73}{3.9} \approx 18.72\] мм (округляем до сотых)

Для нахождения диаметра тени нужно умножить радиус тени на 2:

\[d = 2 \times r = 2 \times 18.72 \approx 37.44\] мм (округляем до сотых)

Таким образом, диаметр тени составляет примерно 37.44 см.

Теперь вычислим отношение площади тени к площади диска. Площадь тени можно найти по формуле \(S_{\text{тени}} = \pi \times r^2\), а площадь диска по формуле \(S_{\text{диск}} = \pi \times R^2\). Подставим известные значения:

\[S_{\text{тени}} = \pi \times 18.72^2\]
\[S_{\text{диск}} = \pi \times 73^2\]

Выполним вычисления:

\[S_{\text{тени}} \approx 349.446\] мм² (округляем до сотых)
\[S_{\text{диск}} \approx 16744.039\] мм² (округляем до сотых)

Теперь можно найти отношение площади тени к площади диска:

\[\dfrac{S_{\text{тени}}}{S_{\text{диск}}} \approx \dfrac{349.446}{16744.039} \approx 0.0209\] (округляем до десятых)

Таким образом, площадь тени больше площади диска примерно в 0.0209 раз.

Итак, окончательные ответы:
- Диаметр тени равен примерно 37.44 см.
- Площадь тени в 0.0209 раз больше площади диска.