Каков диапазон скорости, с которой реактивный самолет набирает скорость и теряет топливо, если его масса без топлива

Семён_7750

39

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать законы сохранения импульса и массы.

Давайте разберемся сначала, каков будет диапазон скоростей, с которыми реактивный самолет набирает скорость и теряет топливо.

По закону сохранения импульса можно сказать, что изменение импульса системы (самолет + выбрасываемое топливо) равно сумме импульсов отдельных частей. Поскольку самолет двигается вперед, импульс самолета будет направлен вперед и его модуль будет равен массе самолета без топлива \(m\) (20 тонн) умноженной на скорость самолета \(v\), можно записать это как \(m \cdot v\). Импульс выбрасываемого топлива будет направлен в противоположную сторону, поэтому его модуль будет равен массе выбрасываемого топлива \(m_t\) умноженной на скорость выбрасывания \(v_t\), записано как \(m_t \cdot v_t\).

Аналогично, изменение импульса системы равно изменению импульса самолета плюс изменению импульса выбрасываемого топлива. Пренебрегая внешними силами, мы можем записать это как:

\[m \cdot \Delta v = m_t \cdot \Delta v_t\]

где \(\Delta v\) - изменение скорости самолета, а \(\Delta v_t\) - изменение скорости выбрасываемого топлива.

Теперь рассмотрим закон сохранения массы. Поток выбрасываемого топлива (масса топлива, выбрасываемая за единицу времени) равен изменению массы топлива в баке самолета деленное на время. Мы можем записать это как:

\[\dot{m_t} = \frac{\Delta m_t}{\Delta t}\]

где \(\dot{m_t}\) - поток выбрасываемого топлива, \(\Delta m_t\) - изменение массы выбрасываемого топлива, а \(\Delta t\) - изменение времени.

Также, за фиксированное изменение времени \(\Delta t\), мы знаем, что изменение массы самолета равняется отрицательному изменению массы выбрасываемого топлива. Мы можем записать это как:

\(\Delta m = -\Delta m_t\)

Теперь мы можем записать закон сохранения массы в виде:

\(\Delta m + \Delta m_t = 0\)

Пренебрегая внешними силами, изменение импульса может быть записано:

\(m \cdot \Delta v = m_t \cdot \Delta v_t\)

Зная, что \(\Delta m = -\Delta m_t\), мы можем заменить \(\Delta m_t\) в уравнении сохранения импульса:

\(m \cdot \Delta v = -\Delta m \cdot \Delta v_t\)

Разделив обе части уравнения на \(\Delta t\), получим:

\(m \cdot \frac{\Delta v}{\Delta t} = -\frac{\Delta m}{\Delta t} \cdot \Delta v_t\)

Используя определение потока загрузки \(\dot{m}\) и \(\Delta v_t \approx v_t\) при малом изменении времени, уравнение можно переписать как:

\(m \cdot \frac{\Delta v}{\Delta t} = -\dot{m_t} \cdot v_t\)

Применяя предел, когда \(\Delta t\) стремится к нулю, получаем:

\(m \cdot \frac{dv}{dt} = -\dot{m_t} \cdot v_t\)

Поскольку \(dv/dt\) представляет собой производную скорости по времени, мы записываем ее как \(\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dt}\), а \(\dot{m_t}\) записываем как \(\frac{dm_t}{dt}\).

Исходя из закона сохранения массы, мы можем записать:

\(\frac{dm_t}{dt} = -\frac{dm}{dt}\)

Теперь мы можем переписать наше уравнение как:

\(m \cdot \frac{dv}{dt} = \frac{dm}{dt} \cdot v_t\)

Теперь, чтобы найти диапазон скоростей, с которыми самолет набирает скорость и теряет топливо, нам потребуются значения массы самолета \(m\), скорости выбрасывания топлива \(v_t\) и скорости набора скорости \(\frac{dv}{dt}\).

Введем некоторые предположения:

1. Масса самолета без топлива, \(m\), составляет 20 тонн.
2. Скорость выбрасывания топлива, \(v_t\), является постоянной величиной и равна \(200 \, м/с\).
3. Скорость набора скорости, \(\frac{dv}{dt}\), является постоянной величиной.

Используя эти предположения, мы можем ввести эти значения в уравнение:

\(20 \, тонн \cdot \frac{dv}{dt} = -\frac{dm}{dt} \cdot 200 \, м/с\)

Заметим, что \(m\) - это масса самолета без топлива, и она не меняется со временем, так что \(\frac{dm}{dt}\) равно нулю.

Таким образом, уравнение становится:

\(20 \, тонн \cdot \frac{dv}{dt} = 0\)

Разделив обе части на 20, получим:

\(\frac{dv}{dt} = 0\)

Это означает, что скорость набора скорости равна нулю. Следовательно, диапазон скоростей, с которыми самолет набирает скорость и теряет топливо, будет начинаться с нуля.

Теперь перейдем к второй части вопроса о скорости истечения газов.

Скорость истечения газов определяется уравнением Тьюрингтона, которое связывает скорость истечения газов с критической скоростью звука, температурой и молярной массой газа.

Установлено, что для идеального газа соотношение выглядит следующим образом:

\[v_e = \sqrt{\frac{{2 \cdot k \cdot R \cdot T}}{M}}\]

где \(v_e\) - скорость истечения газов, \(k\) - показатель адиабаты, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура газа и \(M\) - молярная масса газа.

Для набора скорости самолета мы можем использовать значение \(k\) около 1,4, \(R\) примерно 8,314 Дж/(моль·К), а \(T\) - типичное значение 300 К.

Но у нас нет информации о молярной массе газа, выбрасываемого самолетом. Если предположить, что самолет использует обычное авиационное топливо, такое как керосин, можно использовать приблизительное значение молярной массы керосина, равное примерно \(170 \, г/моль\).

Подставив эти значения в уравнение Тьюрингтона, мы получим:

\[v_e = \sqrt{\frac{{2 \cdot 1,4 \cdot 8,314 \cdot 300}}{0,170}}\]

Вычислив это выражение, мы получим значение скорости истечения газов.

Однако, отметим, что это приближенное значение, так как мы использовали неопределенные предположения о молярной массе газа и других параметрах.

В итоге, чтобы дать максимально подробный и обстоятельный ответ на задачу, нам нужно:

1. Рассмотреть законы сохранения импульса и массы, чтобы получить уравнения, которые описывают изменение скорости самолета и массу выбрасываемого топлива.
2. Проанализировать уравнения, используя предположения о значениях массы самолета, скорости выбрасывания топлива и скорости набора скорости.
3. Установить, что диапазон скоростей, с которыми самолет набирает скорость и теряет топливо, начинается с нуля, так как скорость набора скорости равна нулю.
4. Рассчитать приближенное значение скорости истечения газов, используя уравнение Тьюрингтона и предположения о молярной массе газа и других параметрах.

Надеюсь, это даёт вам полное понимание задачи и описывает принятые предположения и шаги, необходимые для ее решения.