Каков коэффициент затухания и число колебаний за время релаксации? Во сколько раз изменится энергия контура за время

Максимовна

47

Коэффициент затухания (обозначим его как \(\alpha\)) определяется по формуле:
\[\alpha = \frac{1}{2RC}\]
где \(R\) - сопротивление контура, а \(C\) - его ёмкость.

Число колебаний за время релаксации (обозначим его как \(N\)) можно найти по формуле:
\[N = \frac{T}{T_0}\]
где \(T\) - время релаксации, а \(T_0\) - период свободных колебаний контура.

Энергия контура изменится за время релаксации в \(e\) раз, где
\[e = \exp(-2\pi\alpha T)\]

Дифференциальное уравнение колебаний для контура с числовыми коэффициентами имеет вид:
\[\frac{{d^2V}}{{dt^2}} + 2\alpha\frac{{dV}}{{dt}} + \omega_0^2 V = 0\]
где \(V\) - напряжение на контуре, \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) - собственная частота контура.

Нарисуем график затухающих колебаний для напряжения в пределах двух времён релаксации:

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={Время, \(t\)},
ylabel={Напряжение, \(V\)},
xmin=0, xmax=2*T,
ymin=0, ymax=V0,
xtick={0,T,2*T},
ytick={0,V0},
legend pos=north east,
grid=both
]
\addplot[color=blue, domain=0:2*T, samples=100]{V0*exp(-2*pi*\alpha*x)*cos(deg(\omega0*x))};
\legend{Затухающие колебания}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

Где \(T\) - время релаксации, \(V_0\) - начальное напряжение на контуре. В графике использована формула затухающих колебаний \(V(t) = V_0 \exp(-2\pi\alpha t) \cos(\omega_0 t)\).

Надеюсь, этот ответ помог вам понять основные понятия и решить поставленную задачу! Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь.