Каков косинус меньшего угла треугольника, если известны координаты его вершин: C(-2; 8), P(6; 2), M(2; -6)?

Милая

18

Чтобы найти косинус меньшего угла треугольника, если известны координаты его вершин, нам понадобится использовать формулу косинуса. Но перед этим давайте определим, какая из вершин является меньшим углом треугольника. Для этого мы рассмотрим стороны треугольника и найдем длины каждой из них.

Сторона CM:
\[
CM = \sqrt{(M_x - C_x)^2 + (M_y - C_y)^2}
\]
\[
CM = \sqrt{(2 - (-2))^2 + ((-6) - 8)^2}
\]
\[
CM = \sqrt{(4)^2 + (-14)^2}
\]
\[
CM = \sqrt{16 + 196}
\]
\[
CM = \sqrt{212}
\]

Сторона CP:
\[
CP = \sqrt{(P_x - C_x)^2 + (P_y - C_y)^2}
\]
\[
CP = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (2 - 8)^2}
\]
\[
CP = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2}
\]
\[
CP = \sqrt{64 + 36}
\]
\[
CP = \sqrt{100}
\]
\[
CP = 10
\]

Сторона PM:
\[
PM = \sqrt{(M_x - P_x)^2 + (M_y - P_y)^2}
\]
\[
PM = \sqrt{(2 - 6)^2 + ((-6) - 2)^2}
\]
\[
PM = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2}
\]
\[
PM = \sqrt{16 + 64}
\]
\[
PM = \sqrt{80}
\]

После того, как мы нашли длины сторон, мы можем приступить к вычислению косинуса меньшего угла треугольника с помощью формулы косинуса:

\[
\cos(\angle C) = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}}
\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника. В данной задаче мы будем искать косинус меньшего угла треугольника, поэтому нас интересует угол при вершине \(M\). Так как \(PM\) - наибольшая сторона, то \(c = PM\). Найдем \(a = CM\) и \(b = CP\), и подставим значения в формулу:

\[
\cos(\angle M) = \frac{{CM^2 + CP^2 - PM^2}}{{2 \times CM \times CP}}
\]

\[
\cos(\angle M) = \frac{{\sqrt{212}^2 + 10^2 - \sqrt{80}^2}}{{2 \times \sqrt{212} \times 10}}
\]

\[
\cos(\angle M) = \frac{{212 + 100 - 80}}{{2 \times \sqrt{212} \times 10}}
\]

\[
\cos(\angle M) = \frac{{232}}{{2 \times \sqrt{212} \times 10}}
\]

\[
\cos(\angle M) = \frac{{116}}{{\sqrt{212} \times 10}}
\]

\[
\cos(\angle M) \approx 0.5517
\]

Таким образом, косинус меньшего угла треугольника примерно равен 0.5517.