Каков косинус угла между векторами a=4m-p и b=m+2p, если m и p являются векторами, перпендикулярными друг другу

Тимофей

4

Для начала рассмотрим вектора \(m\) и \(p\), которые перпендикулярны друг другу и имеют равные модули. Обозначим модуль каждого вектора как \(|m|\) и \(|p|\), соответственно. Тогда, по определению перпендикулярности векторов, их скалярное произведение равно нулю:

\[m \cdot p = |m| \cdot |p| \cdot \cos(90^\circ) = 0.\]

Теперь рассмотрим вектора \(a\) и \(b\), которые заданы как \(a = 4m - p\) и \(b = m + 2p\). Чтобы найти косинус угла между этими векторами, мы можем воспользоваться следующей формулой для скалярного произведения:

\[a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta),\]

где \(|a|\) и \(|b|\) - модули векторов \(a\) и \(b\), а \(\theta\) - угол между этими векторами. Мы знаем выражения для векторов и можем их подставить в формулу:

\[a \cdot b = (4m - p) \cdot (m + 2p).\]

Раскроем скобки:

\[a \cdot b = (4m \cdot m + 8m \cdot p - p \cdot m - 2p \cdot p).\]

Теперь воспользуемся перпендикулярностью векторов \(m\) и \(p\), согласно которой \(m \cdot p = 0\):

\[a \cdot b = (4|m|^2 - |p|^2).\]

Нам известно, что модули векторов \(m\) и \(p\) равны между собой, поэтому \(|m| = |p|\). Подставим это в уравнение:

\[a \cdot b = (4|p|^2 - |p|^2).\]

Упростим:

\[a \cdot b = 3|p|^2.\]

Таким образом, мы нашли скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\) в терминах модуля вектора \(p\). Теперь нам остается найти искомый косинус угла \(\theta\). Для этого воспользуемся изначальной формулой:

\[a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta).\]

Подставим найденное значение скалярного произведения и модули векторов \(a\) и \(b\):

\[3|p|^2 = |4m - p| \cdot |m + 2p| \cdot \cos(\theta).\]

Величины \(|4m - p|\) и \(|m + 2p|\) мы можем выразить через модули ветокров \(m\) и \(p\):

\[3|p|^2 = \sqrt{(4|m|^2 - |p|^2)} \cdot \sqrt{( |m|^2 + 4|p|^2)} \cdot \cos(\theta).\]

Мы знаем, что \(|m| = |p|\), поэтому можем подставить \(|m|\) вместо \(|p|\):

\[3|p|^2 = \sqrt{(4|p|^2 - |p|^2)} \cdot \sqrt{( |p|^2 + 4|p|^2)} \cdot \cos(\theta).\]

Упростим выражение:

\[3|p|^2 = \sqrt{3|p|^2} \cdot \sqrt{5|p|^2} \cdot \cos(\theta).\]

Так как \(|p|\) - это модуль вектора, он всегда неотрицателен, поэтому можно сократить его:

\[3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos(\theta).\]

Теперь найдем значение косинуса угла \(\theta\):

\[\cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{15}}.\]

Таким образом, косинус угла между векторами \(a\) и \(b\) равен \(\frac{3}{\sqrt{15}}\).