Каков КПД замкнутого цикла идеального одноатомного газа, который состоит из двух изохорных и двух изобарных процессов?

Druzhok

14

КПД (коэффициент полезного действия) замкнутого цикла идеального газа может быть рассчитан по формуле:

\[ КПД = \frac{\text{Полезная работа}}{\text{Поступившая теплота}} \times 100\% \]

Для данной задачи, мы можем рассчитать КПД, разделив цикл на два изохорных процесса и два изобарных процесса.

Шаг 1: Рассчитываем полезную работу для каждого процесса

Во время изохорного нагревания, объем газа остается постоянным (\(V_1 = V_2\)). Полезная работа (\(W_1\)) в этом случае равна нулю, так как нет смещения границы системы.

Во время изохорного охлаждения, также объем газа остается постоянным (\(V_3 = V_4\)). Полезная работа (\(W_3\)) также равна нулю.

Рассмотрим изобарные процессы. Во время изобарного нагревания, давление газа остается постоянным (\(P_2 = P_3\)). Полезная работа (\(W_2\)) может быть рассчитана с использованием следующей формулы:

\[ W_2 = P \cdot \Delta V \]

где \(P\) - давление газа и \(\Delta V\) - изменение объема газа.

Таким образом, полезная работа (\(W_2\)) во время изобарного нагревания равна:

\[ W_2 = P_2 \cdot (V_3 - V_2) \]

Во время изобарного охлаждения, давление газа также остается постоянным (\(P_4 = P_1\)). Полезная работа (\(W_4\)) может быть рассчитана по той же формуле:

\[ W_4 = P_4 \cdot (V_1 - V_4) \]

Шаг 2: Рассчитываем поступившую теплоту для каждого процесса

Поступившая теплота (\(Q\)) для каждого процесса может быть рассчитана с использованием первого закона термодинамики:

\[ Q = W + \Delta U \]

где \(W\) - совершенная работа и \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии.

В данном случае, так как газ является идеальным, изменение внутренней энергии (\(\Delta U\)) связано только с изменением температуры газа:

\[ \Delta U = C_v \cdot \Delta T \]

где \(C_v\) - молярная теплоемкость при постоянном объеме и \(\Delta T\) - изменение температуры.

Рассчитаем поступившую теплоту для каждого процесса:

Во время изохорного нагревания, поступившая теплота (\(Q_1\)) равна изменению внутренней энергии:

\[ Q_1 = C_v \cdot \Delta T_1 \]

Во время изобарного нагревания, поступившая теплота (\(Q_2\)) также равна изменению внутренней энергии:

\[ Q_2 = C_v \cdot \Delta T_2 \]

Во время изохорного охлаждения, поступившая теплота (\(Q_3\)) снова равна изменению внутренней энергии:

\[ Q_3 = C_v \cdot \Delta T_3 \]

Во время изобарного охлаждения, поступившая теплота (\(Q_4\)) также равна изменению внутренней энергии:

\[ Q_4 = C_v \cdot \Delta T_4 \]

Шаг 3: Рассчитываем КПД цикла

Теперь, используя рассчитанные значения полезной работы (\(W\)) и поступившей теплоты (\(Q\)) для каждого процесса, мы можем рассчитать КПД цикла:

\[ КПД = \frac{W_1 + W_2 + W_3 + W_4}{Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4} \times 100\% \]

или

\[ КПД = \frac{W_2 + W_4}{Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4} \times 100\% \]

Подставляем рассчитанные значения:

\[ КПД = \frac{W_2 + W_4}{Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4} \times 100\% \]

\[ КПД = \frac{P_2 \cdot (V_3 - V_2) + P_4 \cdot (V_1 - V_4)}{C_v \cdot \Delta T_1 + C_v \cdot \Delta T_2 + C_v \cdot \Delta T_3 + C_v \cdot \Delta T_4} \times 100\% \]

Таким образом, чтобы рассчитать КПД цикла, нам нужны значения давления, объема и изменения температуры для каждого процесса. Пожалуйста, предоставьте эти значения, и я смогу предоставить вам итоговый расчет КПД.