Каков логарифмический декремент затухания, если у небольшого тела, подвешенного на длинной нерастяжимой и невесомой
Каков логарифмический декремент затухания, если у небольшого тела, подвешенного на длинной нерастяжимой и невесомой нити длиной l, есть собственные затухающие колебания в соответствии с законом ? Значения А, l, b и g соответственно равны 0,03 рад, 10 см, 3 с–1 и 10 м/с2.
Малышка_2690 56
Для решения данной задачи, нам необходимо определить логарифмический декремент затухания, используя предоставленные значения.Логарифмический декремент затухания (\(\delta\)) определяется по следующей формуле:
\[\delta = \ln\left(\frac{A_n}{A_{n+1}}\right)\cdot\frac{1}{n}\]
где \(A_n\) - амплитуда \(n\)-го затухающего колебания.
В данной задаче нам необходимо выяснить значение \(\delta\), так как заданы значения \(A\), \(l\), \(b\) и \(g\). Однако, в формуле для вычисления \(\delta\) появляются \(A_n\) и \(A_{n+1}\), которые не даны явно.
Для определения \(\delta\) воспользуемся следующими соотношениями, основанными на уравнении гармонического осциллятора:
\[A_n = A_0\cdot e^{-\beta\cdot nT}\]
\[A_{n+1} = A_0\cdot e^{-\beta\cdot (n+1)T}\]
где \(A_0\) - начальная амплитуда, \(\beta\) - "дампинг"-фактор, \(n\) - количество затухающих колебаний, \(T\) - период затухающего колебания.
Из задачи также известно, что \(\beta = b \cdot T\) и \(T = \frac{2\pi}{\sqrt{g/l}}\), где \(g\) - ускорение свободного падения.
Теперь мы можем приступить к решению задачи, используя предоставленные значения.
Шаг 1: Определение периода затухающего колебания
\[T = \frac{2\pi}{\sqrt{g/l}} = \frac{2\pi}{\sqrt{10\,м/с^2 / 0.1\,м}} \approx 2\pi\,с\]
Шаг 2: Определение дампинг-фактора
\(\beta = b \cdot T = 3\,с^{-1} \cdot 2\pi\,с \approx 6\pi\,с^{-1}\)
Шаг 3: Определение начальной амплитуды
Нам дано значение \(A = 0.03\,рад\)
Шаг 4: Определение \(A_n\) и \(A_{n+1}\)
\[A_n = A_0\cdot e^{-\beta\cdot nT} = 0.03\,рад \cdot e^{-6\pi\cdot n}\]
\[A_{n+1} = A_0\cdot e^{-\beta\cdot (n+1)T} = 0.03\,рад \cdot e^{-6\pi\cdot (n+1)}\]
Шаг 5: Определение логарифмического декремента затухания
\(\delta = \ln\left(\frac{A_n}{A_{n+1}}\right)\cdot\frac{1}{n} = \ln\left(\frac{0.03\,рад \cdot e^{-6\pi\cdot n}}{0.03\,рад \cdot e^{-6\pi\cdot (n+1)}}\right)\cdot\frac{1}{n}\)
После подстановки численных значений и упрощения этого выражения, мы получим конечный ответ, который будет составлять:
\[\delta \approx \ln\left(\frac{1}{e^{6\pi}}\right)\cdot\frac{1}{n} = -\ln(e^{6\pi})\cdot\frac{1}{n} = -6\pi\cdot\frac{1}{n}\]
Таким образом, логарифмический декремент затухания в данной задаче равен \(-6\pi\cdot\frac{1}{n}\).