Каков логарифмический декремент затухания математического маятника θ, если его амплитуда уменьшилась в два раза

Эмилия

67

Для решения этой задачи рассмотрим математический маятник, колебания которого описываются уравнением

$$\theta (t)=A\cdot \cos (\omega t+\varphi )$$

где:
$\theta (t)$ - угол отклонения маятника от положения равновесия в момент времени $t$,
$A$ - амплитуда колебаний маятника,
$\omega$ - циклическая частота,
$\varphi$ - начальная фаза колебаний.

Мы знаем, что амплитуда маятника уменьшилась в два раза за время $T$. Из этой информации мы можем записать уравнение для новой амплитуды $A"$:

$$A"=\frac{A}{2}$$

Для нахождения логарифмического декремента затухания, нам необходимо знать разницу в амплитудах на двух последовательных периодах колебаний. Пусть амплитуды на моменты времени $t_1$ и $t_2$ равны $A_1$ и $A_2$ соответственно.

$$A_1=A\cdot \cos (\varphi ),\text{для}t=t_1$$
$$A_2=A\cdot \cos (\varphi ),\text{для}t=t_2$$

Тогда логарифмический декремент затухания $\delta$ определяется следующей формулой:

$$\delta =\ln \left(\frac{A_2}{A_1}\right)$$

Поскольку амплитуда уменьшилась в два раза за время $T$, то для нахождения логарифмического декремента достаточно знать время одного периода колебаний.

Таким образом, логарифмический декремент затухания будет равен:

$$\delta =\ln \left(\frac{A/2}{A}\right)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln (2)\approx -0.693$$

Ответ: Логарифмический декремент затухания математического маятника $\theta$ составляет примерно -0.693.