Каков логарифмический декремент затухания математического маятника θ, если его амплитуда уменьшилась в два раза

Эмилия

67

Для решения этой задачи рассмотрим математический маятник, колебания которого описываются уравнением

\[ \theta(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi) \]

где:
\(\theta(t)\) - угол отклонения маятника от положения равновесия в момент времени \(t\),
\(A\) - амплитуда колебаний маятника,
\(\omega\) - циклическая частота,
\(\phi\) - начальная фаза колебаний.

Мы знаем, что амплитуда маятника уменьшилась в два раза за время \(T\). Из этой информации мы можем записать уравнение для новой амплитуды \(A"\):

\[ A" = \frac{A}{2} \]

Для нахождения логарифмического декремента затухания, нам необходимо знать разницу в амплитудах на двух последовательных периодах колебаний. Пусть амплитуды на моменты времени \(t_1\) и \(t_2\) равны \(A_1\) и \(A_2\) соответственно.

\[ A_1 = A \cdot \cos(\phi), \quad \text{для} \quad t = t_1 \]
\[ A_2 = A \cdot \cos(\phi), \quad \text{для} \quad t = t_2 \]

Тогда логарифмический декремент затухания \(\delta\) определяется следующей формулой:

\[ \delta = \ln\left(\frac{A_2}{A_1}\right) \]

Поскольку амплитуда уменьшилась в два раза за время \(T\), то для нахождения логарифмического декремента достаточно знать время одного периода колебаний.

Таким образом, логарифмический декремент затухания будет равен:

\[ \delta = \ln\left(\frac{A/2}{A}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2) \approx -0.693 \]

Ответ: Логарифмический декремент затухания математического маятника \(\theta\) составляет примерно -0.693.