Каков маршрут, пройденный объектом за промежуток времени от t=0 до t=4, с учетом изменения его скорости по следующему

Иван

23

Для решения этой задачи нам необходимо найти маршрут, пройденный объектом в течение заданного промежутка времени от \( t = 0 \) до \( t = 4 \), учитывая изменение его скорости, описываемое законом \( \upsilon = Rt + a\sqrt{t} \).

Пусть \( s(t) \) будет функцией, описывающей маршрут объекта в зависимости от времени \( t \). Понятно, что маршрут равен интегралу от скорости объекта по времени:

\[ s(t) = \int \upsilon \, dt \]

Для решения данного интеграла по частям нам потребуется знание формулы интегрирования \( \int t^\alpha \, dt \), где \( \alpha \) - произвольное вещественное число.

Разложим функцию скорости на две части - \( Rt \) и \( a\sqrt{t} \). Интеграл от первой части нетрудно взять:

\[ \int Rt \, dt = R \int t \, dt = \frac{1}{2}R t^2 + C_1, \]

где \( C_1 \) - произвольная постоянная, возникающая после взятия неопределенного интеграла.

Для вычисления интеграла от второй части, используем формулу интегрирования \( \int t^\alpha \, dt \). В нашем случае \( \alpha = \frac{1}{2} \), поэтому

\[ \int \sqrt{t} \, dt = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_2, \]

где \( C_2 \) - еще одна произвольная постоянная.

Теперь мы можем записать общее выражение для маршрута объекта:

\[ s(t) = \frac{1}{2}R t^2 + \frac{2}{3} a t^{\frac{3}{2}} + C, \]

где \( C = C_1 + C_2 \) - сумма постоянных \( C_1 \) и \( C_2 \).

Для уточнения значения постоянной \( C \) учтем начальное условие, что при \( t = 0 \) маршрут объекта равен нулю. Подставим \( t = 0 \) в выражение для маршрута:

\[ s(0) = \frac{1}{2}R \cdot 0^2 + \frac{2}{3} a \cdot 0^{\frac{3}{2}} + C = 0. \]

Из этого следует, что \( C = 0 \).

Таким образом, окончательное выражение для маршрута объекта будет иметь вид:

\[ s(t) = \frac{1}{2}R t^2 + \frac{2}{3} a t^{\frac{3}{2}}. \]

Теперь мы можем найти маршрут, пройденный объектом за промежуток времени от \( t = 0 \) до \( t = 4 \). Подставим соответствующие значения в выражение для маршрута:

\[ s(4) = \frac{1}{2}R \cdot 4^2 + \frac{2}{3} a \cdot 4^{\frac{3}{2}}. \]

Полученное значение является ответом на данную задачу.