Каков множитель k, если в треугольнике ABC медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке M и MB→ = kMB1→?

Весенний_Сад

68

Чтобы найти множитель k, мы можем использовать связь между длинами медиан треугольника и точке их пересечения - точке М.

Заметим, что медиана треугольника - это линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Поэтому, чтобы найти множитель k, мы должны сравнить длины соответствующих отрезков.

Пусть \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) - медианы треугольника \(\triangle ABC\), пересекающиеся в точке М.

Мы знаем, что \(MB→ = kMB_1→\). Это означает, что векторы \(MB\) и \(MB_1\) сонаправлены и отличаются только своей длиной.

Мы можем выразить вектор \(MB_1\) через вектор \(MB\) следующим образом:

\[MB_1→ = \frac{1}{k}MB→.\]

Теперь давайте рассмотрим другую медиану, например, \(CC_1\). Мы знаем, что \(MС_1→\) является продолжением \(MC→\).

Так как \(СС_1\) - медиана, и точка \(С_1\) является серединой стороны \(AB\), то вектор \(CC_1\) будет равен \(\frac{1}{2}AB→\).

Аналогично, давайте выразим вектор \(MC_1→\) через вектор \(MC→\):

\[MC_1→ = C_1B_1→ + B_1M→.\]

Так как точка \(C_1\) также является серединой стороны \(MB\), вектор \(C_1B_1→\) будет равен \(\frac{1}{2}MB_1→\).

Подставим эти значения в выражение для \(MC_1→\):

\[MC_1→ = \frac{1}{2}MB_1→ + B_1M→.\]

Используя то, что \(MB_1→ = \frac{1}{k}MB→\), получим:

\[MC_1→ = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{k}MB→ + B_1M→ = \frac{1}{2k}MB→ + B_1M→.\]

Теперь мы можем сравнить длины векторов \(MC_1→\) и \(CC_1→\):

\(\frac{1}{2k}MB→ + B_1M→\) и \(\frac{1}{2}AB→\).

All these paragraphs should be aligned on the left as there is a formula in the last paragraph.

Так как отрезки \(MC_1\) и \(CC_1\) являются продолжением друг друга, их векторы должны быть сонаправлены. Это означает, что их соответствующие коэффициенты должны быть равны:

\(\frac{1}{2k} = \frac{1}{2}\).

Чтобы найти множитель \(k\), решим эту пропорцию:

\(\frac{1}{2k} = \frac{1}{2}\).

Умножим обе части на \(2k\):

\(1 = k\).

Таким образом, множитель \(k\) равен 1.