Каков момент инерции системы двух шариков относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к стержню, если

Feya

59

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые основные понятия из механики.

Момент инерции \(I\) - это величина, которая определяет сопротивление тела изменению своего вращательного движения вокруг заданной оси. Он зависит как от массы тела, так и от его распределения относительно оси вращения. Момент инерции формулируется как произведение массы тела на квадрат расстояния от оси вращения до элемента массы и складывается для всех элементов массы, составляющих тело.

В данной задаче мы имеем систему из двух шариков и стержня. Поскольку нам нужно найти момент инерции системы относительно заданной оси, мы рассмотрим каждый элемент по отдельности и затем сложим полученные значения.

Начнем с момента инерции шарика массой 10 г (или 0,01 кг). Момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр, равен \(I_1 = \frac{2}{5}mr^2\), где \(r\) - радиус шарика. Учитывая, что масса шарика составляет 10 г, преобразуем это значение в килограммы, получим \(m = 0,01\) кг. Заметим, что относительно заданной оси радиус \(r\) равен половине длины стержня, то есть \(r = \frac{l}{2}\). Подставляя известные значения в формулу, получим:

\[I_1 = \frac{2}{5} \cdot 0,01 \cdot \left(\frac{0,4}{2}\right)^2 = 0,0008 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Теперь рассмотрим второй шарик массой 20 г (или 0,02 кг). Также можем вычислить его момент инерции относительно оси, проходящей через его центр, применяя ту же формулу. Здесь также \(r = \frac{l}{2}\), а масса \(m = 0,02\) кг. Подставим значения в формулу:

\[I_2 = \frac{2}{5} \cdot 0,02 \cdot \left(\frac{0,4}{2}\right)^2 = 0,0016 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Теперь найдем момент инерции стержня. Для однородного стержня массой \(M\) и длиной \(L\) его момент инерции относительно оси, проходящей через один из его концов и перпендикулярной стержню, равен \(I_3 = \frac{1}{3}ML^2\). Масса стержня равна сумме масс двух шариков, а длина стержня равна 40 см (или 0,4 м). Подставим значения в формулу:

\[I_3 = \frac{1}{3} \cdot (0,01 + 0,02) \cdot (0,4)^2 = 0,00733 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Наконец, чтобы получить момент инерции всей системы, просто сложим моменты инерции каждого элемента:

\[I = I_1 + I_2 + I_3 = 0,0008 + 0,0016 + 0,00733 = 0,00973 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Таким образом, получаем, что момент инерции системы двух шариков относительно заданной оси равен 0,00973 кг·м².