Каков объем цилиндра, если его диагональ осевого сечения равна 1 см и наклонена к плоскости основания под углом

Elena

70

Для начала, посмотрим на геометрию данной задачи. У нас есть цилиндр с плоским основанием и диагональю осевого сечения. Давайте обозначим диагональ как \(d\) и угол наклона к плоскости основания как \(\theta\).

Поскольку нам известен размер диагонали, мы можем использовать геометрические свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти размеры цилиндра. Давайте разложим данную задачу на составные части и решим ее шаг за шагом:

1. Определим высоту цилиндра: Мы знаем, что диагональ осевого сечения является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой цилиндра и радиусом основания. Таким образом, в прямоугольном треугольнике у нас есть противолежащий катет (высота) и гипотенуза (диагональ). Мы можем использовать тригонометрический соотношение синуса, чтобы найти высоту цилиндра:

\[
\sin(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{{\text{{высота}}}}{{d}}
\]

Из этого мы можем найти высоту цилиндра:

\[
\text{{высота}} = d \cdot \sin(\theta)
\]

2. Определим радиус основания: Радиус основания цилиндра является другим катетом прямоугольного треугольника, образованного высотой и радиусом основания. Мы можем использовать тригонометрическое соотношение косинуса, чтобы найти радиус основания:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{{\text{{радиус основания}}}}{{d}}
\]

Отсюда мы можем найти радиус основания:

\[
\text{{радиус основания}} = d \cdot \cos(\theta)
\]

3. Определим объем цилиндра: Объем цилиндра можно вычислить, используя формулу

\[
V = \pi \cdot r^2 \cdot h
\]

где \(V\) - объем, \(\pi\) - число Пи (приближенно равное 3.14), \(r\) - радиус основания и \(h\) - высота цилиндра.

Теперь, когда мы знаем высоту и радиус основания, мы можем рассчитать объем цилиндра:

\[
V = \pi \cdot \left( d \cdot \cos(\theta) \right)^2 \cdot \left( d \cdot \sin(\theta) \right)
\]

Таким образом, объем цилиндра будет равен полученному значению.

Пожалуйста, учтите, что в данной задаче говорится о диагонали осевого сечения цилиндра, а не обычной диагонали плоской фигуры. Убедитесь, что отличаете эти два понятия, чтобы правильно решить задачу.