Каков объем цилиндра, если отрезок АС, расположенный на разных окружностях оснований цилиндра, пересекает ось под углом
Каков объем цилиндра, если отрезок АС, расположенный на разных окружностях оснований цилиндра, пересекает ось под углом 30° и имеет длину 4√3 см? Решите задачу.
Magnitnyy_Magistr 13
Чтобы решить эту задачу и найти объем цилиндра, нам понадобится знать формулу для объема цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле:\[V = \pi r^2 h\]
где \(V\) - объем цилиндра, \(\pi\) - число пи (приближенно равное 3.14), \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.
В данной задаче нам дано, что отрезок АС, расположенный на разных окружностях оснований цилиндра, пересекает ось под углом 30 градусов и имеет длину \(4\sqrt{3}\) см.
Для начала найдем радиус основания цилиндра. Поскольку отрезок АС пересекает ось под углом 30 градусов, то мы можем предположить, что это равносторонний треугольник. Длина стороны равностороннего треугольника равна стороне, умноженной на \(\sqrt{3}\). Таким образом, длина стороны основания цилиндра равна \(4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12\) см.
Радиус основания цилиндра \(r\) равен половине длины стороны основания. Поэтому \(r = \frac{12}{2} = 6\) см.
Теперь нужно найти высоту цилиндра \(h\). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором одна сторона равна радиусу основания (6 см), а другая сторона равна длине отрезка АС (4√3 см).
Расстояние от центра окружности до стороны прямоугольника (высота цилиндра) можно найти по формуле \(h = \sqrt{AC^2 - r^2}\).
Подставим известные значения и вычислим:
\[h = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - 6^2} = \sqrt{48 - 36} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\] см.
Теперь у нас есть все необходимые значения - радиус основания \(r = 6\) см и высота цилиндра \(h = 2\sqrt{3}\) см. Мы можем использовать формулу для объема цилиндра, чтобы найти ответ.
\[V = \pi r^2 h = 3.14 \cdot 6^2 \cdot 2\sqrt{3} = 3.14 \cdot 36 \cdot 2\sqrt{3} = 226.08\sqrt{3}\] см³.
Итак, объем цилиндра, в данной задаче, равен \(226.08\sqrt{3}\) кубических сантиметров.