Какова площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2+1 и y=-x+3, а также осями координат? Пожалуйста

Магия_Звезд

5

Хорошо! Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y=x^2+1\) и \(y=-x+3\), необходимо сначала найти точки пересечения этих двух графиков. Затем можно построить график и вычислить площадь фигуры. Давайте начнем!

1. Найдем точки пересечения графиков. Для этого приравняем уравнения и решим полученное уравнение относительно \(x\):

\[x^2 + 1 = -x + 3\]

Соберем все члены уравнения на одной стороне:

\[x^2 + x - 2 = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем разложить его на множители или использовать квадратное уравнение. Давайте воспользуемся квадратным уравнением. Используя формулу дискриминанта, \(D = b^2 - 4ac\), где \(a,b,c\) - коэффициенты уравнения, получим:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9\]

Так как дискриминант положительный, у нас имеется два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\]

Мы получили две точки пересечения: \((1,2)\) и \((-2,5)\).

2. Теперь построим график. Для этого нарисуем оси координат и отметим точки пересечения на них.

\[
\begin{array}{cc}
\text{График функции \(y=x^2+1\)} & \text{График функции \(y=-x+3\)} \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cc}
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & 10 \\
-2 & 5 \\
-1 & 2 \\
0 & 1 \\
1 & 2 \\
2 & 5 \\
3 & 10 \\
\hline
\end{array}

&

\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & 6 \\
-2 & 5 \\
-1 & 4 \\
0 & 3 \\
1 & 2 \\
2 & 1 \\
3 & 0 \\
\hline
\end{array}

\end{array}
\]

На основе этих значений мы можем нарисовать графикы функций \(y=x^2+1\) - это парабола, выпуклая вверх, и \(y=-x+3\) - это прямая с отрицательным наклоном.

3. Наконец, можно вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и осями координат. Для этого разобьем фигуру на две части - треугольник и параболическую часть. Затем сложим площади этих двух частей.

Первая часть - треугольник. Он находится под графиком функции \(y=-x+3\), площадь которого равна половине произведения основания и высоты. Основание треугольника равно расстоянию между точками пересечения и составляет \(3 - (-2) = 5\) единиц. Высота треугольника равна расстоянию от вершины треугольника до оси \(x\), т.е. \(4\) единицы. Таким образом, площадь треугольника равна:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10\]

Вторая часть - параболическая кривая \(y=x^2+1\). Ее площадь можно найти с помощью определенного интеграла от \(x_1\) до \(x_2\). Интеграл от функции \(y=x^2+1\) будет выглядеть следующим образом:

\[
\int_{-2}^{1} (x^2+1) dx
\]

Вычислив этот интеграл, мы найдем площадь параболической кривой.

Получается, что площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y=x^2+1\) и \(y=-x+3\), а также осями координат, равна:

\[S_{\text{фигуры}} = 10 + \int_{-2}^{1} (x^2+1) dx\]

Вычислив данный интеграл, мы получим окончательное значение площади фигуры.

Пожалуйста, обратите внимание, что вычисление точного значения интеграла может быть сложным, поэтому это можно сделать с использованием численных методов или калькулятора.