Каков объем цилиндра, в котором вписана призма с основанием в виде прямоугольного треугольника? Площадь осевого сечения

Юлия_1165

28

Чтобы найти объем цилиндра, в котором вписана призма, нам нужно знать высоту призмы. Давайте начнем с поиска высоты призмы.

У нас есть осевое сечение цилиндра, которое является прямоугольным треугольником. Площадь осевого сечения цилиндра можно найти с помощью формулы:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

где \(S\) - площадь осевого сечения, \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника.

Из условия задачи нам известно, что площадь осевого сечения равна 24 см², а один из катетов равен \(2\sqrt{3}\) см с прилежащим углом в 30 градусов. Чтобы найти второй катет, воспользуемся тригонометрическим соотношением для треугольника с углом 30 градусов и гипотенузой \(2\sqrt{3}\) см:

\[\sin 30^\circ = \frac{a}{c}\]

где \(a\) - искомый катет, \(c\) - гипотенуза.

\[\frac{1}{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

Теперь решим эту уравнение:

\[a = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\]

Таким образом, у нас есть два измерения катетов треугольника: \(2\sqrt{3}\) см и \(\sqrt{3}\) см.

Теперь, чтобы найти высоту призмы, рассмотрим прямоугольный треугольник. Все три стороны этого треугольника являются радиусами цилиндра, так как он вписан в призму. Поэтому, высота призмы будет равна радиусу цилиндра.

Высота призмы равна \(\sqrt{3}\) см.

Теперь, чтобы найти объем цилиндра, воспользуемся формулой:

\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h\]

где \(V\) - объем цилиндра, \(r\) - радиус цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

В нашем случае, радиус цилиндра равен \(\sqrt{3}\) см, а высота цилиндра также равна \(\sqrt{3}\) см.

Подставим значения в формулу:

\[V = \pi \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = 3\pi\]

Итак, объем цилиндра, в котором вписана призма с основанием в виде прямоугольного треугольника, равен \(3\pi\) кубических сантиметров.