Каков объем данной правильной треугольной призмы, если одна сторона ее основания равна 18 см и диагональ боковой грани

Mihail

65

Чтобы найти объем данной правильной треугольной призмы, мы сначала вычислим площадь основания, а затем умножим ее на высоту призмы.

1. Вычислим площадь основания. В данной задаче основание призмы — правильный треугольник. Формула для вычисления площади правильного треугольника с длиной стороны \(a\) выглядит следующим образом:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \times a^2\]

В нашем случае сторона основания равна 18 см. Подставим это значение в формулу:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \times 18^2\]

Вычислим значение площади основания:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \times 18^2 = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \times 324 = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \times 324\]

2. Теперь вычислим высоту призмы. Диагональ боковой грани образует угол 60 градусов с плоскостью основания, а это значит, что мы можем использовать теорему косинусов для нахождения высоты.

Вспомним формулу теоремы косинусов:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

где \(c\) - это длина стороны, противоположной углу \(C\), а \(a\) и \(b\) - это длины двух других сторон треугольника.

Мы знаем, что сторона основания нашего треугольника равна 18 см, а угол между сторонами основания и боковой грани (диагонали) равен 60 градусов. Поэтому, подставим значения в формулу:

\[h^2 = 18^2 + 18^2 - 2 \times 18 \times 18 \cos(60^\circ)\]

Вычислим значение под корнем и упростим формулу:

\[h^2 = 324 + 324 - 648 \times 0.5 = 648 - 324 = 324\]

Извлечем корень:

\[h = \sqrt{324} = 18\]

3. Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота призмы, мы можем вычислить объем призмы:

\[V = S_{\text{осн}} \times h = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \times 324 \times 18 = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \times 5832\]

Вычислим точное значение объема (округленное до ближайшего целого):

\[V = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \times 5832 \approx 7533 \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем данной правильной треугольной призмы равен примерно 7533 кубических сантиметра.