Каков объем данной усеченной пирамиды, у которой апофема правильного шестиугольного сечения равна 10 см, высота равна

Baron_4466

42

Для решения этой задачи, нам необходимо знать формулу для вычисления объема усеченной пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (A + \sqrt{A \cdot B} + B) \],

где \( V \) - объем пирамиды, \( h \) - высота пирамиды, \( A \) - площадь верхнего основания, \( B \) - площадь нижнего основания.

Нам известны значения высоты (\( h = 8 \) см) и апофемы верхнего основания (\( \text{апофема} = 10 \) см).

Верхнее и нижнее основания - правильные шестиугольники. Это означает, что у них равны все стороны и все углы. Мы знаем, что сумма длин двух сторон верхнего и нижнего основания равна \( 8\sqrt{3} \) (так как каждая строна основания шестиугольника равна \( 8\sqrt{3}/6 = 4\sqrt{3}/3 \)).

Таким образом, у нас есть следующие данные:

Апофема верхнего основания (\( a \)) = 10 см

Высота пирамиды (\( h \)) = 8 см

Сумма длин двух сторон верхнего и нижнего основания (\( a + b \)) = \( 8\sqrt{3} \)

Нам нужно найти объем усеченной пирамиды (\( V \)).

Начнем с вычисления площадей оснований:

Площадь верхнего основания (\( A \)) равна:
\[ A = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \]
\[ A = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 \]
\[ A = \frac{300 \sqrt{3}}{4} \]
\[ A = 75 \sqrt{3} \]

Площадь нижнего основания (\( B \)) равна:
\[ B = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot b^2 \]
\[ B = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{8\sqrt{3}}{6}\right)^2 \]
\[ B = \frac{288 \sqrt{3}}{36} \]
\[ B = 8 \sqrt{3} \]

Теперь, используя найденные значения, мы можем вычислить объем усеченной пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (A + \sqrt{A \cdot B} + B) \]
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot \left(75 \sqrt{3} + \sqrt{75 \sqrt{3} \cdot 8 \sqrt{3}} + 8 \sqrt{3}\right) \]
\[ V = \frac{8}{3} \cdot \left(75 \sqrt{3} + \sqrt{75 \cdot 8 \cdot 3} + 8 \sqrt{3}\right) \]
\[ V = \frac{8}{3} \cdot (75 \sqrt{3} + \sqrt{1800} + 8 \sqrt{3}) \]
\[ V = \frac{8}{3} \cdot (75 \sqrt{3} + \sqrt{36 \cdot 50} + 8 \sqrt{3}) \]
\[ V = \frac{8}{3} \cdot (75 \sqrt{3} + 6 \sqrt{50} + 8 \sqrt{3}) \]
\[ V = \frac{8}{3} \cdot (83 \sqrt{3} + 6 \sqrt{50}) \]
\[ V = \frac{8}{3} \cdot (83 \cdot 3.464 + 6 \cdot 7.071) \]
\[ V = \frac{8}{3} \cdot (287.912 + 42.426) \]
\[ V \approx \frac{8}{3} \cdot 330.338 \]
\[ V \approx 880.902 \]

Итак, объем данной усеченной пирамиды равен примерно 880.902 кубическим сантиметрам.