Каков объём конуса, если его образующая равна 13 и угол между образующей и плоскостью основания имеет синус 12/13?

Semen

36

Хорошо, для решения этой задачи мы можем использовать формулу для объема конуса. Формула имеет вид:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,\]

где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса. В данной задаче мы знаем, что образующая конуса равна 13. Образующая представляет собой прямую линию, соединяющую вершину конуса с центром основания.

Также у нас есть информация о синусе угла между образующей и плоскостью основания. Синус этого угла равен \(\frac{12}{13}\). Для нахождения высоты конуса \(h\) нам понадобится найти высоту треугольника, образованного образующей и основанием конуса. Мы можем воспользоваться свойством синуса в прямоугольном треугольнике:

\[\sin(\theta) = \frac{противолежащая}{гипотенуза},\]

где \(\theta\) - угол между образующей и плоскостью основания, а противолежащая - это высота треугольника, то есть высота конуса \(h\), а гипотенуза - это образующая конуса.

Однако для применения этой формулы нам нужно знать длину противолежащей - высоту треугольника. Мы можем найти ее, используя теорему Пифагора:

\[h^2 = 13^2 - r^2.\]

Теперь мы можем использовать известные данные: образующая \(13\) и синус угла \(\frac{12}{13}\), чтобы выразить \(h\) через \(r\). Подставляя эти значения в уравнение, мы получим:

\[\left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \left(\frac{r}{13}\right)^2.\]

Решая это уравнение относительно \(r^2\), получаем:

\[\left(\frac{r}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169}.\]

Упрощая, получаем:

\[\left(\frac{r}{13}\right)^2 = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}.\]

Возведя в квадрат обе стороны уравнения, получаем:

\[\frac{r^2}{169} = \frac{25}{169}.\]

Домножая обе стороны на 169, мы получаем:

\[r^2 = 25.\]

Извлекая квадратный корень, получаем:

\[r = 5.\]

Теперь мы знаем радиус основания конуса \(r = 5\). Мы также знаем образующую \(13\). Теперь мы можем использовать формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h.\]

Подставляя значения \(r = 5\) и \(h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\) в формулу, мы получаем:

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100 \pi.\]

Таким образом, объем этого конуса равен \(100 \pi\).