Каков объем этого конуса, если плоскость параллельная основанию, при делении высоты в отношении 1:3, отсекает конус

Morskoy_Skazochnik

15

Конус имеет две основания: большую основу и малую основу. Плоскость, параллельная основанию, разделяет конус на две части - большой конус и малый конус.

Пусть V обозначает объем большого конуса, V₁ - объем малого конуса, h - высота большего конуса, и h₁ - высота малого конуса. Тогда, согласно условию задачи, отношение h₁/h = 1/3.

Мы знаем, что объем конуса можно вычислить по формуле V = (1/3) * π * r² * h, где r - радиус основания конуса.

Для большого конуса объем можно выразить как V = (1/3) * π * R² * h, где R - радиус большого основания, а h - высота большего конуса.

Аналогично, для малого конуса можем записать V₁ = (1/3) * π * r₁² * h₁, где r₁ - радиус малого основания, а h₁ - высота малого конуса.

Из условия задачи известно, что V₁ = 4.

Мы хотим найти объем большого конуса V.

Чтобы решить эту задачу, мы должны найти связь между радиусами и высотами большего и малого конусов.

Обратимся к отношению высот h₁/h = 1/3. Так как объемы конусов связаны с основаниями и высотами, можно предположить, что отношение объемов V₁/V тоже будет 1/9 (так как (1/3)² = 1/9). Действительно, отношение объемов равно отношению соответствующих оснований и высот, то есть (R₁/R)² * (h₁/h) = (r₁/r)² * (h₁/h) = 1/9.

Теперь мы знаем, что (R₁/R)² * (h₁/h) = 1/9 и V₁ = 4.

Чтобы найти V, нужно выразить R₁ и h₁ через R и h с помощью заданного отношения h₁/h = 1/3, а затем использовать эти значения в формуле для V₁.

Мы можем записать R₁ = (1/3) * R и h₁ = (1/3) * h.

Подставим эти значения в формулу для V₁: V₁ = (1/3) * π * (1/9) * R² * h.

Теперь можем найти R и h через R₁ и h₁: R = (3/1) * R₁ и h = (3/1) * h₁.

Подставим эти значения в формулу для V: V = (1/3) * π * R² * h.

Итак, у нас имеется система уравнений с двумя неизвестными: V₁ = (1/3) * π * (1/9) * R² * h и V = (1/3) * π * R² * h. Мы знаем, что V₁ = 4.

Подставим значение V₁: 4 = (1/3) * π * (1/9) * R² * h.

Теперь можем выразить h через R из этого уравнения: h = (4 * 3 * 9) / (π * R²).

Подставим это значение h в уравнение для V: V = (1/3) * π * R² * [(4 * 3 * 9) / (π * R²)].

Упростим это уравнение: V = 4 * 9 * 3 = 108.

Таким образом, объем большого конуса равен 108.

Используя шаг за шагом решение и алгебраические преобразования, мы детально объяснили процесс и получили окончательный ответ. Надеюсь, это помогло школьнику понять решение задачи.