Какова площадь осевого сечения цилиндра, если хорда нижнего основания отсекает от окружности дугу в 120 градусов

Музыкальный_Эльф

25

Хорда, которая отсекает от окружности дугу в 120 градусов, образует равносторонний треугольник с радиусом цилиндра. Поскольку каждый угол этого треугольника равен 60 градусов, мы можем использовать свойство равностороннего треугольника и разделить этот треугольник на два прямоугольных треугольника.

Чтобы вычислить площадь осевого сечения цилиндра, мы можем найти площадь этих двух треугольников и сложить их вместе.

Площадь равностороннего треугольника можно найти с использованием формулы:

\[S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\]

Где \(a\) - длина стороны треугольника.

В данном случае, мы знаем, что длина отрезка, соединяющего центр верхнего основания с серединой хорды, равна \(4\sqrt{2}\) см. Так как этот отрезок образует угол 45 градусов с плоскостью основания, он является гипотенузой прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. У нас есть гипотенуза, равная \(4\sqrt{2}\) см, и известен угол, равный 45 градусам. Мы должны найти катеты этого треугольника.

Мы можем использовать тригонометрические функции для решения этой задачи. Так как угол 45 градусов является особым углом, мы знаем, что синус и косинус этого угла равны \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( \sin(45^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)
\( \cos(45^\circ) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)

Подставляя известные значения, получаем:

\( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\text{противолежащий катет}}{4\sqrt{2}} \)
\( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\text{прилежащий катет}}{4\sqrt{2}} \)

Решая эти уравнения, мы получаем:

\( \text{противолежащий катет} = 2 \) см
\( \text{прилежащий катет} = 2 \) см

Теперь мы можем вычислить площадь каждого треугольника, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times \text{прилежащий катет} \times \text{противолежащий катет}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[S_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \, \text{см}^2\]
\[S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \, \text{см}^2\]

Теперь мы можем сложить площади обоих треугольников:

\[S_{\text{осевого сечения}} = S_1 + S_2 = 2 + 2 = 4 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна 4 квадратным сантиметрам.