Каков объем конуса, если его высота равна 5 метрам, а угол между образующей и высотой составляет 60°?

Золотой_Ключ_9481

45

Для того чтобы найти объём конуса, нам понадобятся его высота и радиус основания. У нас уже есть высота конуса, которая равна 5 метрам.

Перейдём к нахождению радиуса основания конуса. Для этого нам нужно знать длину образующей конуса и угол между образующей и высотой. В нашей задаче угол равен 60°, а высота равна 5 метрам.

Чтобы найти радиус основания, нам необходимо использовать тригонометрическую функцию синуса. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае противолежащий катет - это радиус основания, а гипотенуза - это образующая конуса.

Мы можем найти радиус основания, используя формулу:
\[r = \frac{l}{2\sin(\alpha)}\]

где \(l\) - длина образующей конуса, \(\alpha\) - угол между образующей и высотой.

Так как угол \(\alpha\) равен 60° и длина образующей \(l\) неизвестна, нам необходимо использовать свойства треугольника.

Угол между образующей и высотой разделяет основание конуса на два равнобедренных треугольника. При этом каждый из этих треугольников имеет угол при основании в 30°.

Так как угол при основании теперь равен 30°, а угол противолежащий этой стороне 60° (угол из условия задачи), то мы можем представить треугольник как правильный треугольник, у которого медиана косвенно заданной стороной и противолежащий угол равен половине прямого.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, равнобокий треугольник. В нем гипотенуза равна образующей конуса \(l\), а катет равен радиусу основания \(r\).

Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса в новой связи:
\[\sin(30°) = \frac{r}{l}\]
\[\frac{1}{2} = \frac{r}{l}\]
\[l = 2r\]

Таким образом, мы связали длину образующей и радиус основания конуса, которые будут в два раза больше равны между собой.

Теперь, зная длину образующей, можно найти радиус основания конуса, используя следующую формулу:
\[r = \frac{l}{2\sin(\alpha)}\]
\[r = \frac{2r}{2\sin(60°)}\]

Далее, для нахождения объёма конуса, воспользуемся соответствующей формулой для объёма конуса:
\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

Подставим известные значения: \(r = 2r\sin(60°)\), \(h = 5\)

\[V = \frac{1}{3}\pi (2r\sin(60°))^2 \cdot 5\]

Выполняем вычисления:

\[V = \frac{1}{3}\pi (4r\sin(60°))^2 \cdot 5\]
\[V = \frac{1}{3}\pi (4r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2 \cdot 5\]
\[V = \frac{1}{3}\pi \frac{9}{4} \cdot 4r^2 \cdot 5\]
\[V = \frac{9}{3}\pi r^2 \cdot 5\]
\[V = 3\pi r^2 \cdot 5\]
\[V = 15\pi r^2\]

Таким образом, объём конуса равен \(15\pi r^2\) или \(15\pi\) умножить на квадрат радиуса основания конуса.