Каков наибольший отрицательный корень уравнения cos(π(2x+24))/4 = −(2/√2)?

Антоновна_149

36

Давайте посмотрим на задачу. У нас есть уравнение:

\[\frac{{\cos(\pi(2x+24))}}{4} = -\frac{2}{\sqrt{2}}\]

Наша задача - найти наибольший отрицательный корень этого уравнения. Давайте начнем с того, чтобы упростить уравнение.

Сначала мы можем упростить правую часть уравнения по следующему свойству корня:

\[-\frac{2}{\sqrt{2}} = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Поскольку \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) равняется \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), мы можем записать:

\[-2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}\]

Теперь наше уравнение имеет вид:

\[\frac{{\cos(\pi(2x+24))}}{4} = -\sqrt{2}\]

Для решения этого уравнения, нам нужно избавиться от косинуса на левой стороне. Для этого умножим обе стороны на 4:

\[\cos(\pi(2x+24)) = -4\sqrt{2}\]

Теперь проанализируем, когда \(\cos(\theta)\) равно -1, поскольку мы хотим найти отрицательный корень:

\[\cos(\theta) = -1, \text{ когда } \theta = (2n+1)\pi, \text{ где } n \text{ - целое число}\]

Мы можем записать уравнение следующим образом:

\[\pi(2x+24) = (2n+1)\pi\]

Теперь разделим обе стороны на \(\pi\):

\[2x + 24 = 2n + 1\]

Выразим x:

\[x = \frac{{2n + 1 - 24}}{2} = \frac{{2n - 23}}{2} = n - \frac{{23}}{2}\]

Таким образом, мы получили выражение для x в зависимости от n. Чтобы найти наибольший отрицательный корень, нам нужно найти максимальное значение для n отрицательное.

Поскольку мы ищем наибольший отрицательный корень, то наибольшее целое число, удовлетворяющее условию \(n - \frac{{23}}{2} < 0\), - это \(n = 11\).

Подставим это значение в нашу формулу для x:

\[x = 11 - \frac{{23}}{2} = -\frac{{1}}{2}\]

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения \(\frac{{\cos(\pi(2x+24))}}{4} = -\frac{2}{\sqrt{2}}\) равен \(-\frac{{1}}{2}\).