Каков объем меньшего шарового сегмента, полученного отсечением шара радиуса 15 см сечением площадью 144 квадратных

Chaynik

59

Сначала давайте разберемся с определением шарового сегмента. Шаровой сегмент - это часть шара, полученная отсечением одной плоскостью. В данной задаче плоскость отсекает шар по горизонтали на две части.

Для начала найдем высоту шарового сегмента. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются центр шара, точка пересечения сечения и точка на границе сегмента. По теореме Пифагора получаем:

\[h^2 = r^2 - \left(\dfrac{d}{2}\right)^2\]

где \(h\) - высота сегмента, \(r\) - радиус шара, \(d\) - диаметр сечения.

Теперь вычислим значение высоты:

\[h^2 = 15^2 - \left(\dfrac{d}{2}\right)^2\]

\[h^2 = 225 - \left(\dfrac{\sqrt{144}}{2}\right)^2\]

\[h^2 = 225 - \dfrac{144}{4}\]

\[h^2 = 225 - 36\]

\[h^2 = 189\]

\[h = \sqrt{189}\]

\[h \approx 13.75 \, \text{см}\]

Теперь найдем объем шарового сегмента. Объем шарового сегмента можно выразить как разность объема полного шара и объема усеченного конуса.

Объем шара радиуса \(R\) вычисляется по формуле:

\[V_{\text{шара}} = \dfrac{4}{3} \pi R^3\]

Объем конуса с радиусом основания \(r\) и высотой \(h_{\text{конуса}}\) вычисляется по формуле:

\[V_{\text{конуса}} = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h_{\text{конуса}}\]

В нашем случае, радиус полного шара \(R\) равен 15 см, а радиус основания усеченного конуса \(r\) равен диаметру сечения:

\[r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{\sqrt{144}}{2} = 6 \text{ см}\]

Высота усеченного конуса \(h_{\text{конуса}}\) равна высоте шарового сегмента \(h\):

\[h_{\text{конуса}} = h \approx 13.75 \, \text{см}\]

Теперь можем рассчитать объем шарового сегмента:

\[V_{\text{сегмента}} = V_{\text{шара}} - V_{\text{конуса}}\]

\[V_{\text{сегмента}} = \dfrac{4}{3} \pi R^3 - \dfrac{1}{3} \pi r^2 h_{\text{конуса}}\]

\[V_{\text{сегмента}} = \dfrac{4}{3} \pi (15)^3 - \dfrac{1}{3} \pi (6)^2 (13.75)\]

\[V_{\text{сегмента}} \approx 11132.52 \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем меньшего шарового сегмента, полученного отсечением шара радиуса 15 см сечением площадью 144 квадратных сантиметра, составляет примерно 11132.52 кубических сантиметра.