Каков объем налитой жидкости в конусообразном сосуде, где уровень жидкости достигает 1/3 высоты, а объем сосуда

Александра

61

Чтобы решить данную задачу, нужно применить формулу для объема конуса, которая выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Где:
- \(V\) - объем конуса,
- \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14159,
- \(r\) - радиус основания конуса,
- \(h\) - высота конуса.

В задаче сказано, что уровень жидкости достигает 1/3 высоты конуса, что означает, что высота жидкости составляет 1/3 от общей высоты.

Для решения задачи нам нужно найти радиус основания конуса. Поскольку известно, что объем конуса составляет 540 мл и уровень жидкости достигает 1/3 от общей высоты, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{1}{3} \pi r^2 \times \frac{1}{3} h = 540\]

Теперь избавимся от неизвестного \(h\) в уравнении, используя известное соотношение 1/3 высоты к общей высоте:

\[h = 3 \times \frac{1}{3} h\]

Подставим полученное значение \(h\) в уравнение объема:

\[\frac{1}{3} \pi r^2 \times \frac{1}{3} \left(3 \times \frac{1}{3} h\right) = 540\]

Упростим выражение:

\[\frac{1}{9} \pi r^2 \times h = 540\]

Теперь можно избавиться от множителя 1/9:

\[\pi r^2 \times h = 540 \times 9\]

\[\pi r^2 \times h = 4860\]

Осталось выразить радиус \(r\):

\[r^2 \times h = \frac{4860}{\pi}\]

\[r^2 = \frac{4860}{\pi h}\]

\[r = \sqrt{\frac{4860}{\pi h}}\]

Теперь, когда у нас есть формула для радиуса, можно воспользоваться известной формулой для объема конуса и подставить найденный радиус:

\[V = \frac{1}{3} \pi \left(\sqrt{\frac{4860}{\pi h}}\right)^2 h\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{4860}{\pi h} \cdot h\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{4860}{h}\]

Теперь мы можем подставить значение объема сосуда 540 мл в уравнение и найти значение высоты \(h\):

\[540 = \frac{1}{3} \cdot \frac{4860}{h}\]

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 3:

\[3 \cdot 540 = \frac{4860}{h}\]

\[1620 = \frac{4860}{h}\]

Чтобы найти \(h\), разделим 4860 на 1620:

\[h = \frac{4860}{1620}\]

\[h = 3\]

Теперь, когда мы знаем значение высоты \(h\), мы можем подставить его вначало уравнения объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{4860}{3}\]

\[V = 540\]

Ответ: объем налитой жидкости в конусообразном сосуде составляет 540 мл.