Каков объем налитой жидкости в конусообразном сосуде, где уровень жидкости достигает 1/3 высоты, а объем сосуда

Александра

61

Чтобы решить данную задачу, нужно применить формулу для объема конуса, которая выглядит следующим образом:

$$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$

Где:
- $V$ - объем конуса,
- $\pi$ - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14159,
- $r$ - радиус основания конуса,
- $h$ - высота конуса.

В задаче сказано, что уровень жидкости достигает 1/3 высоты конуса, что означает, что высота жидкости составляет 1/3 от общей высоты.

Для решения задачи нам нужно найти радиус основания конуса. Поскольку известно, что объем конуса составляет 540 мл и уровень жидкости достигает 1/3 от общей высоты, мы можем записать следующее соотношение:

$$\frac{1}{3}\pi r^2\times \frac{1}{3}h=540$$

Теперь избавимся от неизвестного $h$ в уравнении, используя известное соотношение 1/3 высоты к общей высоте:

$$h=3\times \frac{1}{3}h$$

Подставим полученное значение $h$ в уравнение объема:

$$\frac{1}{3}\pi r^2\times \frac{1}{3}(3\times \frac{1}{3}h)=540$$

Упростим выражение:

$$\frac{1}{9}\pi r^2\times h=540$$

Теперь можно избавиться от множителя 1/9:

$$\pi r^2\times h=540\times 9$$

$$\pi r^2\times h=4860$$

Осталось выразить радиус $r$:

$$r^2\times h=\frac{4860}{\pi }$$

$$r^2=\frac{4860}{\pi h}$$

$$r=\sqrt{\frac{4860}{\pi h}}$$

Теперь, когда у нас есть формула для радиуса, можно воспользоваться известной формулой для объема конуса и подставить найденный радиус:

$$V=\frac{1}{3}\pi {\left(\sqrt{\frac{4860}{\pi h}}\right)}^{2}h$$

$$V=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{4860}{\pi h}\cdot h$$

$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{4860}{h}$$

Теперь мы можем подставить значение объема сосуда 540 мл в уравнение и найти значение высоты $h$:

$$540=\frac{1}{3}\cdot \frac{4860}{h}$$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 3:

$$3\cdot 540=\frac{4860}{h}$$

$$1620=\frac{4860}{h}$$

Чтобы найти $h$, разделим 4860 на 1620:

$$h=\frac{4860}{1620}$$

$$h=3$$

Теперь, когда мы знаем значение высоты $h$, мы можем подставить его вначало уравнения объема конуса:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{4860}{3}$$

$$V=540$$

Ответ: объем налитой жидкости в конусообразном сосуде составляет 540 мл.