Каков объем пирамиды, если ее основание представляет прямоугольный треугольник со сторонами 3 и 4 см, а каждое боковое

Артур

69

Конечно! Чтобы решить данную задачу, мы будем использовать формулу для объема пирамиды, которая выражается следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \]

Где \( V \) - объем пирамиды,
\( S_{\text{осн}} \) - площадь основания пирамиды,
\( h \) - высота пирамиды.

Начнем с вычисления площади основания пирамиды, которая представляет собой прямоугольный треугольник. Формула для площади прямоугольного треугольника имеет вид:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Где \( a \) и \( b \) - длины катетов прямоугольного треугольника.

Подставляя известные значения, получаем:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \, \text{см}^2 \]

Теперь перейдем к вычислению высоты пирамиды. У нас есть информация о том, что каждое боковое ребро пирамиды составляет угол 45 градусов с плоскостью основания. Поскольку угол 45 градусов является прямым углом, мы можем сформировать равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого боковое ребро является гипотенузой, а высота - катетом.

Так как у нас уже есть длины катетов прямоугольного треугольника основания пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы. Формула для этой теоремы:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Где \( c \) - длина гипотенузы,
\( a \) и \( b \) - длины катетов.

Подставляя значения, получаем:

\[ c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]

Тогда:

\[ c = \sqrt{25} = 5 \, \text{см} \]

Теперь у нас есть длина гипотенузы, которая равна длине одного из боковых ребер пирамиды. Чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно знать расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания, которое равно катету равнобедренного треугольника. Поскольку равнобедренный треугольник образуется двумя боковыми ребрами пирамиды и расстоянием от вершины до плоскости основания, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором известны гипотенуза и один катет. Мы можем использовать ту же формулу из теоремы Пифагора для вычисления недостающей длины катета.

\[ h^2 = c^2 - a^2 \]

Где \( h \) - высота пирамиды,
\( c \) - длина гипотенузы,
\( a \) - длина катета.

Подставляя значения, получаем:

\[ h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \]

Тогда:

\[ h = \sqrt{16} = 4 \, \text{см} \]

Теперь, когда у нас есть площадь основания пирамиды (\( S_{\text{осн}} = 6 \, \text{см}^2 \)) и высота пирамиды (\( h = 4 \, \text{см} \)), мы можем использовать формулу для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 4 = 8 \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем этой пирамиды составляет 8 кубических сантиметров.