Каков объём пирамиды с правильным треугольным основанием, сторона которого равна 4, а двугранный угол при основании

Сквозь_Подземелья

41

Чтобы найти объем пирамиды с правильным треугольным основанием, нам понадобится знать длину стороны основания и высоту пирамиды. В этой задаче, длина стороны основания равна 4, а двугранный угол при основании равен 45 градусам.

Первым шагом, найдем высоту пирамиды. Для этого мы можем использовать тригонометрию. В правильном треугольнике, угол 45 градусов делит основание на две равные части, поэтому получаем два прямоугольных треугольника. Для каждого из них применим теорему Пифагора:

\[\text{Длина }h = \sqrt{(\text{полуребро})^2 - (\text{полуребро})^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} \approx 3.464 \]

Теперь, когда у нас есть значение высоты пирамиды, мы можем найти ее объем. Объем пирамиды можно найти по формуле:

\[\text{Объем} = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \text{высота} \]

Так как это правильная треугольная пирамида, у нас есть формула для площади треугольника:

\[\text{Площадь треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{сторона})^2 \]

Подставив значения в формулу, получим:

\[\text{Объем} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 \times \sqrt{12} = \frac{\sqrt{3} \times 4 \times 4 \times \sqrt{12}}{12} = \frac{16\sqrt{3} \times \sqrt{12}}{12} = \frac{16 \times \sqrt{3 \times 12}}{12} = \frac{16 \times \sqrt{36}}{12} = \frac{16 \times 6}{12} = 8 \]

Итак, объем пирамиды равен 8 кубическим единицам.