Каков объем пирамиды с прямоугольным треугольным основанием, где гипотенуза равна 3 и угол между боковыми ребрами

Timofey

58

Чтобы найти объем пирамиды, нам необходимо знать площадь основания и высоту пирамиды.

Для начала, найдем площадь прямоугольного треугольника. Площадь треугольника можно найти по формуле:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]

В нашем случае, основанием является прямоугольный треугольник, а его высота равна одной из его сторон. Поскольку у нас задана только гипотенуза и угол, придется использовать связь между ними.

Так как угол между боковыми ребрами и основанием равен 60 градусов, а гипотенуза равна 3, мы можем найти сторону основания, применяя тригонометрические соотношения.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник.

Высота пирамиды соответствует одной из его сторон, то есть высота равна ординате противоположного угла 60 градусов. Поскольку нам известна гипотенуза равная 3, можно выразить сторону основания через гипотенузу и синус этого угла:

\[Высота = \text {гипотенуза} \times \sin(60)\]

Заметим, что угол 60 градусов относится к треугольнику со стороной, к которой прилегает высота.

Теперь, когда у нас есть сторона основания, мы можем найти площадь треугольника, используя формулу для прямоугольных треугольников:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times \text {сторона основания} \times \text{высота}\]

После нахождения площади основания \(Площадь_основания\), мы можем вычислить объем пирамиды:

\[Объем = \frac{1}{3} \times Площадь_основания \times \text{высота}\]

Теперь, приступим к вычислениям:

1. Найдем сторону основания:
\[\text{сторона основания} = \text {гипотенуза} \times \sin(60)\]

2. Найдем площадь основания:
\[Площадь_основания = \frac{1}{2} \times \text {основание} \times \text {высота} \]

3. Найдем объем пирамиды:
\[Объем = \frac{1}{3} \times Площадь_основания \times \text {высота}\]

Теперь перейдем к конкретным вычислениям:

1. Найдем сторону основания:
\[\text{сторона основания} = 3 \times \sin(60)\]

Мы можем вычислить значение синуса угла 60 градусов, которое равно \( \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[\text{сторона основания} = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

2. Найдем площадь основания:
\[Площадь_основания = \frac{1}{2} \times \text{сторона основания} \times \text{высота}\]
\[Площадь_основания = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{4}\sqrt{3}\]

3. Найдем объем пирамиды:
\[Объем = \frac{1}{3} \times Площадь_основания \times \text{высота}\]
\[Объем = \frac{1}{3} \times \frac{9}{4}\sqrt{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{27}{8}\sqrt{3}\]

Таким образом, объем пирамиды с прямоугольным треугольным основанием, где гипотенуза равна 3 и угол между боковыми ребрами и основанием составляет 60 градусов, равен \( \frac{27}{8}\sqrt{3} \).