Какова площадь ромба, если его периметр составляет 40 см и высота ромба на 1,5 см меньше его стороны?

Григорьевич_5048

12

Чтобы найти площадь ромба, мы можем воспользоваться формулой: \[S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2},\] где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба.

Нам известен периметр ромба, который равен сумме всех его сторон. Зная это, мы можем найти длину одной стороны ромба, разделив периметр на 4: \[a = \frac{{\text{{Периметр}}}}{4}.\] В данном случае, периметр составляет 40 см, поэтому \(a = \frac{{40 \, \text{{см}}}}{4} = 10 \, \text{{см}}\).

Также нам дано, что высота ромба на 1,5 см меньше его стороны. Следовательно, высота будет равна \(h = a - 1.5 \, \text{{см}} = 10 \, \text{{см}} - 1.5 \, \text{{см}} = 8.5 \, \text{{см}}\).

Осталось найти значение диагонали ромба. Диагонали ромба делят его на 4 равных треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора в этих треугольниках, чтобы найти длину диагонали.

Пусть \(d\) - длина одной диагонали ромба. Рассмотрим один из треугольников, образованных диагональю и стороной ромба. Этот треугольник - прямоугольный с гипотенузой \(d\) и катетом \(a/2\) (половина стороны ромба). Мы можем применить теорему Пифагора:
\[d^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2.\]

Подставим значения \(a = 10 \, \text{{см}}\) и \(h = 8.5 \, \text{{см}}\) в формулу:
\(d^2 = \left(\frac{10 \, \text{{см}}}{2}\right)^2 + 8.5 \, \text{{см}}^2.\)
\(d^2 = 5^2 + 8.5^2.\)
\(d^2 = 25 + 72.25.\)
\(d^2 = 97.25.\)

Теперь найдем площадь ромба, применяя формулу \(S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2}\).

Для нашего ромба, значения обеих диагоналей будут одинаковыми: \(d_1 = d_2 = d\).

Подставим значение \(d = \sqrt{97.25}\) в формулу и рассчитаем площадь:
\[S = \frac{{\sqrt{97.25} \cdot \sqrt{97.25}}}{2}.\]
\[S = \frac{{97.25}}{2}.\]
\[S = 48.625 \, \text{{кв. см}}.\]

Таким образом, площадь данного ромба составляет 48.625 квадратных сантиметров.