Каков объем пирамиды, в которой все боковые ребра равны 2√7, а основание представляет собой равнобедренный треугольник

Vladimirovich

8

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для объема пирамиды, которая выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h,\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Данная пирамида имеет равнобедренный треугольник в качестве основания. Когда у нас есть равнобедренный треугольник, мы можем использовать формулу для площади равнобедренного треугольника:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times a \times b,\]

где \(a\) - длина равных сторон треугольника, \(b\) - длина основания треугольника.

Помните, что длина основания треугольника составляет 4, а каждая боковая сторона равна \(2\sqrt{7}\). Теперь мы можем вычислить площадь основания пирамиды:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}.\]

Осталось только вычислить высоту пирамиды. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть равнобедренный треугольник. Воспользуемся формулой:

\[h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2},\]

где \(c\) - длина боковой стороны треугольника, а \(b\) - длина основания треугольника.

Подставим известные значения в формулу:

\[h = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 - \left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{28 - 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.\]

Мы нашли и площадь основания пирамиды и ее высоту. Теперь можем найти объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{7} \times 2\sqrt{6}.\]

Упростим это выражение:

\[V = \frac{1}{3} \times 4 \times 2 \times \sqrt{7} \times \sqrt{6} = \frac{8}{3} \times \sqrt{42}.\]

Таким образом, объем пирамиды составляет \(\frac{8}{3} \sqrt{42}\) или около 14,73 единицы объема.

Надеюсь, этот детальный ответ помог вам понять решение задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!