Каков объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 10 см и двугранным углом при основании 60 градусов?

Luka

57

Для решения этой задачи нам потребуется знание формулы для объема пирамиды. Объем \(V\) правильной четырехугольной пирамиды можно выразить через площадь основания \(S\) и высоту пирамиды \(h\) следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \times S \times h\]

В нашей задаче нам уже дана высота пирамиды \(h = 10\) см. Теперь нам нужно найти площадь основания \(S\). У нас есть информация о двугранном угле при основании равном 60 градусов. В правильной четырехугольной пирамиде основанием служит равносторонний треугольник. У нас также имеется информация о высоте \(h_1\) этого треугольника, которую можно найти с помощью тригонометрии.

Так как у нас есть двугранный угол, мы можем использовать теорему косинусов:

\[h_1 = h \times \cos(60^\circ)\]

Подставляя известные значения, получим:

\[h_1 = 10 \times \cos(60^\circ) = 10 \times \frac{1}{2} = 5\]

Теперь, чтобы найти площадь основания \(S\), мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

У нас уже полученная высота \(h_1 = 5\), а так как треугольник равносторонний, то длина стороны равна:

\[a = 2 \times h_1 = 2 \times 5 = 10\]

Теперь мы знаем все, что нам нужно для вычисления объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\right) \times h = \frac{1}{3} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^2\right) \times 10\]

Выполняя простые математические вычисления, получим:

\[V = \frac{\sqrt{3}}{12} \times 10^3 = \frac{10\sqrt{3}}{12} \times 10^2 = \frac{5\sqrt{3}}{6} \times 100 = \frac{500\sqrt{3}}{6} \approx 144.34 \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 10 см и двугранным углом при основании 60 градусов равен примерно 144.34 кубических сантиметра.