Каков объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно 10 см и образует угол 60 градусов

Анжела_6569

59

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам потребуется знать формулу для объема пирамиды и значения ее размеров. Давайте вначале разберемся с формулой и затем решим задачу.

Формула для объема пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h\]
где \(V\) - объем пирамиды,
\(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды,
\(h\) - высота пирамиды.

В нашей задаче у нас есть правильная четырехугольная пирамида, что означает, что ее основание - это квадрат со стороной, равной боковому ребру. Также дано, что боковое ребро равно 10 см и образует угол 60 градусов с плоскостью основания.

Чтобы решить задачу, нам нужно найти площадь основания пирамиды и ее высоту.

Площадь основания пирамиды:
\[S_{\text{осн}} = a^2\]
где \(a\) - длина стороны основания (квадрата).

В нашем случае \(a = 10\) см, поскольку боковое ребро равно 10 см.
\(S_{\text{осн}} = 10^2 = 100\) см².

Теперь осталось найти высоту пирамиды. Для этого нам понадобится теорема косинусов, так как у нас есть значение угла между боковым ребром и плоскостью основания, а также длины двух сторон треугольника - бокового ребра пирамиды и сторону основания. Нам нужна сторона основания. Она равна диагонали квадрата, а значит, нужно умножить длину стороны на \(\sqrt{2}\):
\[a_{\text{диагональ}} = a \times \sqrt{2}\]
\[a_{\text{диагональ}} = 10 \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2}\]

Теперь применим теорему косинусов:
\[h = \sqrt{b^2 - a_{\text{диагональ}}^2 \times \cos^2(\theta)}\]
где \(b\) - длина бокового ребра,
\(\theta\) - угол между боковым ребром и плоскостью основания.

В нашем случае \(b = 10\) см и \(\theta = 60^\circ\).
\[h = \sqrt{10^2 - (10\sqrt{2})^2 \times \cos^2(60^\circ)}\]

Выполнив вычисления, получим:
\[h = \sqrt{100 - 200 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2}\]
\[h = \sqrt{100 - 200 \times \frac{1}{4}}\]
\[h = \sqrt{100 - 50}\]
\[h = \sqrt{50}\]
\[h = 5\sqrt{2}\]

Теперь мы знаем площадь основания пирамиды (\(S_{\text{осн}} = 100\) см²) и высоту пирамиды (\(h = 5\sqrt{2}\) см). Можем найти объем пирамиды, подставив эти значения в формулу:
\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h\]
\[V = \frac{1}{3} \times 100 \times 5\sqrt{2}\]
\[V = \frac{1}{3} \times 500\sqrt{2}\]
\[V = \frac{500\sqrt{2}}{3}\]

Итак, объем правильной четырехугольной пирамиды равен \(\frac{500\sqrt{2}}{3}\) кубических сантиметров.