Каков объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 4 корень из 3, а угол между боковой

Тигр

27

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам понадобятся знания о ее основании и высоте.

Для начала, определим основание пирамиды. В задаче сказано, что сторона основания равна 4 корень из 3. Поскольку пирамида правильная, она имеет форму правильного четырехугольника, в котором все стороны равны друг другу.

Чтобы узнать длину высоты пирамиды, нам нужно знать угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания. Так как в задаче сказано, что этот угол составляет 60 градусов, мы знаем, что у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной стороне основания, и углом между гипотенузой и катетом, равным высоте пирамиды.

Высота \(h\) такого треугольника может быть найдена с помощью тригонометрии. Для этого мы можем воспользоваться формулой синуса:

\[\sin(60^\circ) = \frac{h}{4\sqrt{3}}\]

Теперь найдем значение синуса \(60^\circ\). Угол \(60^\circ\) является особым, потому что его значение синуса равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Вставив это значение в наше уравнение, мы получим:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{4\sqrt{3}}\]

Умножим обе части уравнения на \(4\sqrt{3}\) и приведем его к простой форме:

\[2 = \frac{h}{\sqrt{3}}\]

Теперь, чтобы найти высоту \(h\), умножим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):

\[h = 2\sqrt{3}\]

Теперь у нас есть длина стороны основания (\(4\sqrt{3}\)) и высота пирамиды (\(2\sqrt{3}\)). Чтобы найти объем пирамиды, мы можем использовать формулу:

\[V = \frac{1}{3} \times (\text{площадь основания}) \times (\text{высота})\]

Давайте найдем площадь основания. Поскольку сторона основания равна \(4\sqrt{3}\), мы можем использовать формулу для площади правильного четырехугольника:

\[A = s^2 \times \sqrt{3}\]

Вставим значение стороны в эту формулу:

\[A = (4\sqrt{3})^2 \times \sqrt{3}\]

Упростим это выражение:

\[A = (16 \times 3) \times \sqrt{3} = 48\sqrt{3}\]

Теперь подставим все значения в формулу для объема:

\[V = \frac{1}{3} \times (48\sqrt{3}) \times (2\sqrt{3})\]

Упростим выражение и вычислим:

\[V = \frac{1}{3} \times (48 \times 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \times 96 \times 3 = 96\]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 96.