Каков объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны

Весенний_Лес

31

Чтобы решить эту задачу, необходимо знать формулу для вычисления объема пирамиды. Объем правильной четырехугольной пирамиды можно найти с помощью следующей формулы:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( S_{основания} \) - площадь основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды.

В нашем случае, так как все ребра пирамиды равны, это означает, что основание пирамиды является равносторонним четырехугольником.

Для правильного четырехугольника известно, что его площадь основания можно найти по формуле:

\[ S_{основания} = a^2 \cdot \sqrt{3} \]

где \( a \) - длина стороны четырехугольника.

Таким образом, чтобы найти объем пирамиды, нужно вычислить площадь основания и затем умножить на треть высоты пирамиды.

У нас все ребра равны, поэтому длина стороны четырехугольника равна \( a \).

Подставим это значение в формулу для площади основания:

\[ S_{основания} = a^2 \cdot \sqrt{3} = a \cdot a \cdot \sqrt{3} = a^2\sqrt{3} \]

Теперь у нас есть площадь основания. Чтобы найти высоту пирамиды, рассмотрим треугольник с высотой пирамиды и стороной основания. Этот треугольник - прямоугольный с катетами \( h \) и \( \frac{a}{2} \) и гипотенузой \( a \).

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды:

\[ h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
\[ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} \]
\[ h^2 = \frac{3a^2}{4} \]
\[ h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} \]
\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Теперь у нас есть и площадь основания, и высота пирамиды. Подставим значения в формулу объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2\sqrt{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{3} \]

Итак, объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны, равен \( \frac{a^3\sqrt{3}}{3} \), где \( a \) - длина стороны пирамиды.