Каков объем правильной четырехугольной пирамиды (усеченной), у которой боковое ребро равно 3м, а стороны основания

Звездная_Галактика

38

Хорошо, решим задачу. Для начала давайте разберемся с понятием правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Это геометрическое тело, у которого основание является правильным четырехугольником, а все боковые грани являются равнобедренными треугольниками. В данной задаче у нас боковое ребро одинаковой длины, а стороны основания также одинаковые.

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды (усеченной), сначала нам понадобится найти площадь ее основания и высоту. После этого мы сможем применить формулу для объема пирамиды.

Для начала, давайте посчитаем площадь основания. У нас имеется правильный четырехугольник со сторонами 5 метров. Чтобы найти площадь такого четырехугольника, мы можем разбить его на два равнобедренных треугольника.

Таким образом, площадь одного треугольника равна:

\[S_1 = \frac{1}{2} \times \text{{основание}} \times \text{{высоту}}\]

У нас основание равно 5 метров, а для нахождения высоты нам понадобится использовать теорему Пифагора.

Пусть \(h\) - высота треугольника, \(a\) - одна из сторон основания и \(b\) - боковое ребро. Тогда по теореме Пифагора получим:

\[h^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Подставим значения:

\[h^2 = 3^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2\]

\[h^2 = 9 - \frac{25}{4}\]

\[h^2 = \frac{36}{4} - \frac{25}{4}\]

\[h^2 = \frac{11}{4}\]

\[h = \sqrt{\frac{11}{4}}\]

Теперь у нас есть высота треугольника, и мы можем найти его площадь:

\[S_1 = \frac{1}{2} \times 5 \times \sqrt{\frac{11}{4}}\]

\[S_1 = \frac{5}{2} \times \sqrt{\frac{11}{4}}\]

Так как у нас есть два таких треугольника, то площадь основания равна:

\[S_{\text{{основания}}} = 2 \times \left(\frac{5}{2} \times \sqrt{\frac{11}{4}}\right)\]

\[S_{\text{{основания}}} = 5 \times \sqrt{\frac{11}{4}}\]

Теперь перейдем к нахождению высоты пирамиды. Давайте рассмотрим один из треугольников, образованный боковым ребром и стороной основания.

По теореме Пифагора, высота одного такого треугольника будет равна:

\[h_2^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Подставим значения:

\[h_2^2 = 3^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2\]

\[h_2^2 = 9 - \frac{25}{4}\]

\[h_2^2 = \frac{36}{4} - \frac{25}{4}\]

\[h_2^2 = \frac{11}{4}\]

\[h_2 = \sqrt{\frac{11}{4}}\]

Теперь, у нас есть высота одного треугольника, то есть высота половины пирамиды. Чтобы найти всю высоту пирамиды, мы можем просто умножить на 2:

\[h_{\text{{пирамиды}}} = 2 \times \sqrt{\frac{11}{4}}\]

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, мы можем воспользоваться формулой:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{{основания}}} \times h_{\text{{пирамиды}}}\]

Подставим значения:

\[V = \frac{1}{3} \times 5 \times \sqrt{\frac{11}{4}} \times 2 \times \sqrt{\frac{11}{4}}\]

\[V = \frac{10}{3} \times \frac{11}{4}\]

\[V = \frac{110}{12}\]

\[V = \frac{55}{6}\]

Итак, объем правильной четырехугольной пирамиды (усеченной) с боковым ребром 3 метра и сторонами основания 5 метров равен \(\frac{55}{6}\) кубическим метрам.