Каков объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды с диагональю в 11 см, боковым ребром в 9 см и разностью

Karamelka

43

Чтобы найти объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, нам понадобятся несколько шагов. Давайте разберемся более подробно.

Сначала определим основания пирамиды. У нас есть разность сторон оснований, и нам нужно найти длину каждой стороны основания. Обозначим длину одной стороны основания через \(a\) и другой стороны основания через \(b\).

Так как разность сторон оснований равна \(8\) см, то мы можем написать уравнение:
\[b - a = 8\]

Теперь обратимся к диагонали пирамиды. Мы знаем, что длина диагонали равна \(11\) см. Зная значения длин оснований и боковых ребер, мы можем составить уравнение, используя теорему Пифагора. Обозначим высоту пирамиды через \(h\).

Применим теорему Пифагора для одного из треугольников в пирамиде:
\[(\frac{b-a}{2})^2 + h^2 = 9^2\]

Отсюда получаем:
\[(\frac{b-a}{2})^2 = 9^2 - h^2\]

Теперь мы можем записать систему уравнений, состоящую из двух уравнений:
\[\begin{cases} b - a = 8 \\ (\frac{b-a}{2})^2 = 9^2 - h^2 \end{cases}\]

Решим эту систему уравнений для \(a\), \(b\) и \(h\).

Из первого уравнения получаем:
\[b = a + 8\]

Подставим это значение \(b\) во второе уравнение:
\[(\frac{a + 8 - a}{2})^2 = 81 - h^2\]

Упростим это выражение:
\[4^2 = 81 - h^2\]
\[16 = 81 - h^2\]
\[h^2 = 81 - 16\]
\[h^2 = 65\]
\[h = \sqrt{65}\]

Теперь, используя значения \(a\), \(b\) и \(h\), найдем объем пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:
\[V = \frac{1}{3} \times S_{основания} \times h\]

где \(S_{основания}\) - площадь основания пирамиды.

Для четырехугольной усеченной пирамиды площадь основания можно найти как сумму площадей двух прямоугольных треугольников с разными основаниями \(a\) и \(b\). Таким образом, площадь основания равна:
\[S_{основания} = \frac{1}{2} \times a \times b\]

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(h\) в формулу для объема пирамиды и вычислим его:

\[V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times a \times b \times \sqrt{65}\]

Подставим значение \(b\) ( \(b = a + 8\) ):
\[V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times a \times (a + 8) \times \sqrt{65}\]

Теперь можем решить эту формулу для любого значения \(a\). Например, если \(a = 5\), то:

\[V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 5 \times (5 + 8) \times \sqrt{65}\]

Вычислим это выражение и получим ответ.