Каков объем правильной шестиугольной призмы, если ее большая диагональ равна 4√3 см и она наклонена к основанию

Пугающий_Пират

16

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу для нахождения объёма призмы, а также формулы для вычисления диагоналей правильного шестиугольника.

Первым шагом мы должны найти длину стороны основания шестиугольника. Для этого обратимся к формуле:

$$длинастороны=\frac{диагональ}{2\cdot \sin (30°)}$$

В данной задаче большая диагональ равна $4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассчитаем длину стороны основания:

$$длинастороны=\frac{4\sqrt{3}}{2\cdot \sin (30°)}$$

Угол в формуле должен быть задан в радианах, поэтому переведем 30° в радианы:

$$уголврадианах=\frac{30°\cdot \pi }{180°}$$

$$уголврадианах=\frac{\pi }{6}$$

Теперь можно вычислить длину стороны:

$$длинастороны=\frac{4\sqrt{3}}{2\cdot \sin \left(\frac{\pi }{6}\right)}$$

$$длинастороны=\frac{4\sqrt{3}}{2\cdot \frac{1}{2}}=4\sqrt{3}$$

Теперь, когда у нас есть длина стороны основания, мы можем перейти к вычислению объёма призмы. Формула для нахождения объёма призмы следующая:

$$объемпризмы=основнаяплощадь\times высота$$

Основная площадь правильной шестиугольной призмы равна площади шестиугольника умноженной на 6 (так как у нас 6 граней). Площадь шестиугольника может быть вычислена с использованием следующей формулы:

$$площадьшестиугольника=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times (длинастороны{)}^2$$

Высота призмы равна длине стороны умноженной на $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь мы можем вычислить объём призмы:

$$площадьшестиугольника=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times (4\sqrt{3}{)}^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 48=72\sqrt{3}$$

$$высота=4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=6$$

$$объемпризмы=72\sqrt{3}\times 6=432\sqrt{3}$$

Таким образом, объем правильной шестиугольной призмы равен $432\sqrt{3}$ кубических сантиметров.