Каков объем правильной шестиугольной призмы, если ее большая диагональ равна 4√3 см и она наклонена к основанию

Пугающий_Пират

16

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу для нахождения объёма призмы, а также формулы для вычисления диагоналей правильного шестиугольника.

Первым шагом мы должны найти длину стороны основания шестиугольника. Для этого обратимся к формуле:

\[ длина\,стороны = \frac{диагональ}{2 \cdot \sin(30°)} \]

В данной задаче большая диагональ равна \(4\sqrt{3}\) см.

Теперь рассчитаем длину стороны основания:

\[ длина\,стороны = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \sin(30°)} \]

Угол в формуле должен быть задан в радианах, поэтому переведем 30° в радианы:

\[ угол\,в\,радианах = \frac{30° \cdot \pi}{180°} \]

\[ угол\,в\,радианах = \frac{\pi}{6} \]

Теперь можно вычислить длину стороны:

\[ длина\,стороны = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} \]

\[ длина\,стороны = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4\sqrt{3} \]

Теперь, когда у нас есть длина стороны основания, мы можем перейти к вычислению объёма призмы. Формула для нахождения объёма призмы следующая:

\[ объем\,призмы = основная\,площадь \times высота \]

Основная площадь правильной шестиугольной призмы равна площади шестиугольника умноженной на 6 (так как у нас 6 граней). Площадь шестиугольника может быть вычислена с использованием следующей формулы:

\[ площадь\,шестиугольника = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times (длина\,стороны)^2 \]

Высота призмы равна длине стороны умноженной на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Теперь мы можем вычислить объём призмы:

\[ площадь\,шестиугольника = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times (4\sqrt{3})^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 48 = 72 \sqrt{3} \]

\[ высота = 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \]

\[ объем\,призмы = 72 \sqrt{3} \times 6 = 432 \sqrt{3} \]

Таким образом, объем правильной шестиугольной призмы равен \(432 \sqrt{3}\) кубических сантиметров.