Какова длина образующей усеченного конуса, изображенного на рисунке, где точки O и O1 - центры оснований, AO

Эдуард

23

Для решения данной задачи, нам понадобится знание о свойствах усеченного конуса.

Усеченным конусом называется фигура, образованная отсечением верхней части обычного конуса плоскостью, параллельной основанию.

На рисунке мы видим усеченный конус, где точки O и O1 являются центрами оснований, AO равно 6 см, а A1O1 равно 3 см. Нас интересует длина образующей конуса, то есть расстояние между точками O и O1. Давайте разберемся, как ее найти.

1. Сначала воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения расстояния между точками A и A1.
В треугольнике OAO1 у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами AO, A1O1 и образующей, для которой мы ищем значение.
Применим теорему Пифагора:
\[AA1^2 = AO^2 + A1O1^2\]
\[AA1^2 = 6^2 + 3^2\]
\[AA1^2 = 36 + 9\]
\[AA1^2 = 45\]
\[AA1 = \sqrt{45}\]
Упростим радикал:
\[AA1 = \sqrt{9 \cdot 5}\]
\[AA1 = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5}\]
\[AA1 = 3 \cdot \sqrt{5}\]
Таким образом, длина отрезка AA1 равна \(3 \sqrt{5}\) см.

2. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике OOA1 для нахождения расстояния между точкой O и центром меньшего основания.
В этом треугольнике у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами OA1, AA1 и образующей.
Применим теорему Пифагора:
\[OO1^2 = OA1^2 + AA1^2\]
\[OO1^2 = 3^2 + (3 \sqrt{5})^2\]
\[OO1^2 = 9 + 9 \cdot 5\]
\[OO1^2 = 9 + 45\]
\[OO1^2 = 54\]
\[OO1 = \sqrt{54}\]
Упростим радикал:
\[OO1 = \sqrt{9 \cdot 6}\]
\[OO1 = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6}\]
\[OO1 = 3 \cdot \sqrt{6}\]
Таким образом, длина отрезка OO1 равна \(3 \sqrt{6}\) см.

Таким образом, длина образующей усеченного конуса, изображенного на данном рисунке, составляет \(3 \sqrt{6}\) см. Полученный ответ может быть понятен школьнику, так как для его получения мы последовательно использовали известные математические теоремы и шаги логично объяснили.