Каков объём правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вершине равен 90 и площадь боковой поверхности равна

Skvoz_Volny

47

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды с плоским углом при вершине, равным 90 градусов, нам понадобится знание формулы для объема пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( S \) - площадь основания, \( h \) - высота пирамиды.

Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, площадь основания можно вычислить, зная длину стороны основания, обозначим ее за \( a \):

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \]

Также, поскольку плоский угол при вершине равен 90 градусов, то высота пирамиды будет равна половине длины стороны основания:

\[ h = \frac{a}{2} \]

Теперь, чтобы найти объем, нам нужно подставить значения \( S \) и \( h \) в формулу для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\right) \cdot \left(\frac{a}{2}\right) \]

Упростим выражение:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^3}{2} \]

\[ V = \frac{\sqrt{3}}{24} \cdot a^3 \]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды с плоским углом при вершине равным 90 градусов равен \( \frac{\sqrt{3}}{24} \cdot a^3 \).