Каков объем правильной треугольной призмы с основанием, равным 8, и углом наклона диагонали боковой грани к основанию

Magicheskiy_Kot

29

Для начала, давайте проясним, что такое правильная треугольная призма. Правильная треугольная призма - это призма, у которой основание является правильным треугольником, а все боковые грани являются равнобедренными треугольниками с равными углами и равными сторонами.

У нас есть основание правильного треугольника со стороной 8 единиц. Так как угол наклона диагонали боковой грани к основанию составляет 60 градусов, это означает, что каждый из равнобедренных треугольников на боковой грани имеет углы, равные 60, 60 и 60 градусов.

Чтобы найти объем треугольной призмы, мы должны умножить площадь основания на высоту. В нашем случае высотой будет являться длина боковой грани призмы.

Для того чтобы найти длину боковой грани, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Теорема косинусов позволяет нам найти длину стороны треугольника, если известны длины двух других сторон и угол между ними.

В нашем случае, у нас есть две стороны бокового треугольника, каждая равна 8 единицам, и угол между ними составляет 60 градусов. Поэтому мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины стороны:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где c - длина стороны, a и b - длины других сторон, С - угол между сторонами a и b.

Расставим значения в формуле:

\[c^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(60)\]

Выполняем вычисления:

\[c^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 0.5\]

\[c^2 = 128 - 64\]

\[c^2 = 64\]

\[c = \sqrt{64}\]

\[c = 8\]

Таким образом, сторона бокового треугольника равна 8 единиц.

Для нахождения объема призмы, нам нужно умножить площадь основания на высоту. Площадь основания правильного треугольника можно найти с помощью формулы:

\[S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

Где a - длина стороны правильного треугольника.

Подставим значение стороны:

\[S_{осн} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4}\]

\[S_{осн} = \frac{64 \sqrt{3}}{4}\]

\[S_{осн} = 16 \sqrt{3}\]

Теперь у нас есть площадь основания. Осталось найти высоту призмы. В нашем случае высота равна длине боковой грани - 8 единиц.

Теперь, можем найти объем призмы:

\[V = S_{осн} \cdot h\]

\[V = 16 \sqrt{3} \cdot 8\]

\[V = 128 \sqrt{3}\]

Ответ: объем данной правильной треугольной призмы составляет \(128 \sqrt{3}\) единиц кубических.

Мы получили подробное объяснение и шаги решения задачи, чтобы это было понятно для школьника. Если у вас возникнут еще вопросы или задачи, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!