Каков объем правильной треугольной призмы, у которой шар радиуса 5 см описан около нее, а высота призмы равна

Сладкая_Вишня

54

Для решения данной задачи нам необходимо найти объем правильной треугольной призмы.

Дано, что у данной призмы шар радиуса 5 см описан около нее. Следовательно, радиус шара также является радиусом вписанной в треугольную призму окружности на одной из ее боковых граней. Обозначим этот радиус как \(r\).

Также известно, что высота призмы равна некоторому значению \(h\), которое нам не дано.

Чтобы найти объем треугольной призмы, нам нужно знать основание призмы. Однако это значение нам не дано явно.

Для того, чтобы найти объем, воспользуемся следующими шагами:

1. Найдем основание призмы. Поскольку призма правильная, ее основание представляет собой правильный треугольник. Рассмотрим одну из его сторон, которую можно назвать \(a\).

2. Так как радиус шара \(r\) равен радиусу вписанной окружности на боковой грани призмы, мы можем воспользоваться формулой для нахождения радиуса вписанной окружности в правильный треугольник:\[r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\]
Решим данное уравнение относительно \(a\):
\[a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 5}{\sqrt{3}}\]

3. Теперь, когда у нас есть значение стороны основания призмы \(a\) и известна высота призмы \(h\), мы можем найти площадь основания призмы, используя формулу площади правильного треугольника:
\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]

4. Так как объем треугольной призмы вычисляется по формуле \(V = S_{\text{осн}} \cdot h\), мы можем подставить найденные значения, чтобы найти объем.
\[V = S_{\text{осн}} \cdot h = \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\right) \cdot h\]
\[V = \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{6 \cdot 5}{\sqrt{3}}\right)^2\right) \cdot h\]
\[V = \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{30}{\sqrt{3}}\right)^2\right) \cdot h\]
\[V = \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{30^2}{3}\right) \cdot h\]
\[V = \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{900}{3}\right) \cdot h\]
\[V = \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 300\right) \cdot h\]

Таким образом, объем правильной треугольной призмы может быть выражен как \(\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 300\right) \cdot h\), где \(h\) - высота призмы.