Каков объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если угол между диагональю B1D и диагональю основания

Ягуар

2

Для решения задачи, нам потребуется знание геометрии и использование соответствующих тригонометрических формул. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Поскольку задача говорит о диагоналях B1D и BD, давайте нарисуем его плоскость основания и укажем диагонали:

\[
\begin{array}{c}
B \\
\downarrow \\
\end{array}
\begin{array}{cc}
& \nearrow \\
C & \longrightarrow \\
& \searrow \\
\end{array}
A
\]

Ну и, например, верхнюю грань:

\[
\begin{array}{c}
B1 \\
\downarrow \\
\end{array}
\begin{array}{cc}
& \nearrow \\
C1 & \longrightarrow \\
& \searrow \\
\end{array}
A1
\]

Шаг 2: По описанию задачи, у нас есть два угла между диагональю B1D и диагональю основания BD равные 45°, и угол между диагональю основания BD и стороной BC равный 30°. Обозначим BD как сторону \(a\), BC как сторону \(b\), и AD как сторону \(c\) параллелепипеда.

Шаг 3: Для решения задачи, мы можем использовать теорему косинусов. В прямоугольном треугольнике BDC, где угол BDC равен 45°, угол BCD равен 30°, и стороны BC и BD равны b и a соответственно, применим следующую формулу:

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \theta\]

где \(\theta\) - это угол BCD.

Шаг 4: Мы знаем, что угол BCD равен 30°, поэтому мы можем подставить значения в формулу:

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos 30^\circ\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - ac \sqrt{3}\]

Шаг 5: Теперь взглянем на треугольник ABD с углом BDA равным 45° и сторонами AD и BD, используя теорему косинусов, мы можем написать:

\[c^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos 45^\circ\]

\[c^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos 45^\circ\]

\[c^2 = 2a^2 - a^2 \sqrt{2}\]

Шаг 6: Мы получили два уравнения: \(b^2 = a^2 + c^2 - ac \sqrt{3}\) и \(c^2 = 2a^2 - a^2 \sqrt{2}\). Теперь решим эти уравнения относительно неизвестных.

Используя первое уравнение:

\[b^2 = a^2 + c^2 - ac \sqrt{3}\]

Подставим второе уравнение вместо \(c^2\):

\[b^2 = a^2 + (2a^2 - a^2 \sqrt{2}) - a(2a^2 - a^2 \sqrt{2}) \sqrt{3}\]

\[b^2 = a^2 + 2a^2 - a^2 \sqrt{2} - 2a^3 \sqrt{3} + a^3 \sqrt{6}\]

\[b^2 = 2a^2 + a^2 \sqrt{6} - 2a^3 \sqrt{3}\]

Шаг 7: Теперь, зная значение \(b^2\) и используя это значение, мы можем решить уравнение относительно \(a\). Возведем оба выражения в уравнении в квадрат:

\[b^4 = (2a^2 + a^2 \sqrt{6} - 2a^3 \sqrt{3})^2\]

Шаг 8: Продолжим упрощать полученное выражение:

\[b^4 = 4a^4 + a^4 \cdot 6 + 12a^5 \sqrt{3} + 4a^2 \cdot a^2 \cdot 2\sqrt{6} + 2a^2 \sqrt{6} \cdot 4a^2 - 4a^3 \sqrt{3} \cdot 4a^2 - 2a^3 \sqrt{3} \cdot a^2 \sqrt{6} - 2a^3 \sqrt{3} \cdot 2a^2 \sqrt{6}\]

\[b^4 = 4a^4 + 6a^4 + 12a^5 \sqrt{3} + 8a^4 \sqrt{6} + 8a^2 \sqrt{6} a^2 - 16a^5 \sqrt{3} - 8a^5 \sqrt{3} \sqrt{6} - 24a^5 \sqrt{3} \sqrt{6}\]

\[b^4 = 10a^4 + 20a^2 \sqrt{6} a^2 - 40a^5 \sqrt{3} - 40a^5 \sqrt{3} \sqrt{6} - 24a^5 \sqrt{3} \sqrt{6}\]

Шаг 9: Возьмем излишки и продолжим преобразования:

\[b^4 = 10a^4 + 20a^4 \sqrt{6} - 24a^5 \sqrt{3} - 40a^5 \sqrt{3} \sqrt{6}\]

\[b^4 = 10a^4 + 20a^4 \sqrt{6} - 64a^5 \sqrt{3} \sqrt{6}\]

Шаг 10: Согласно условию задачи, углы наших треугольников равны 45° и 30°. Это означает, что неизвестные значения \(a\), \(b\) и \(c\) должны быть положительными числами. Поэтому мы можем отбросить отрицательные значения в этом уравнении.

\[b^4 = 10a^4 + 20a^4 \sqrt{6} - 64a^5 \sqrt{3} \sqrt{6}\]

\[a^4 (b^4 - 10) = \sqrt{6} a^4 (20a^2 - 64a^3 \sqrt{3})\]

Отбрасываем \(a^4\) на каждой стороне:

\[b^4 - 10 = 20a^2 - 64a^3 \sqrt{3}\]

Выражаем \(a\) в терминах \(b\):

\[a = \frac{b^4 - 10}{20(1 - 2\sqrt{3} a)}\]

Шаг 11: Теперь, чтобы найти \(B1D\), нам нужно вычислить длину диагонали B1D. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике B1BD:

\[B1D = \sqrt{a^2 + a^2}\]

\[B1D = \sqrt{2a^2}\]

\[B1D = a\sqrt{2}\]

Шаг 12: Полный ответ к задаче: объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен \(V = a \cdot b \cdot c\), и длина диагонали B1D равна \(B1D = a \sqrt{2}\). Ранее мы получили, что \(a = \frac{b^4 - 10}{20(1 - 2\sqrt{3} a)}\), следовательно:

\[V = \frac{b^4 - 10}{20(1 - 2\sqrt{3} a)} \cdot b \cdot c\]

\[B1D = \frac{b^4 - 10}{20(1 - 2\sqrt{3} a)} \cdot \sqrt{2}\]

Мы можем заполнить общий вид ответа значениями \(b\) и \(c\) или оставить его в таком виде, в зависимости от требований задачи.