Каков объем прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ больше его измерений на 1см, 9см и 10см? Какова площадь

Mihail

14

Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему Пифагора и формулы для объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Дано, что диагональ параллелепипеда больше его измерений на 1см, 9см и 10см. Обозначим эти измерения как \(a\), \(b\) и \(c\) соответственно.

Используя теорему Пифагора, мы можем составить следующее уравнение:
\[a^2 + b^2 + c^2 = d^2\]
где \(d\) - диагональ параллелепипеда.

Так как диагональ больше каждого измерения на 1см, 9см и 10см, мы можем записать:
\[(a+1)^2 + (b+9)^2 + (c+10)^2 = d^2\]

Для вычисления площади поверхности параллелепипеда, мы можем использовать следующую формулу:
\[2(ab + ac + bc)\]

Теперь давайте решим систему уравнений и найдем значения \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\).

Решение:
\((a+1)^2 + (b+9)^2 + (c+10)^2 = d^2\) — раскроем скобки:
\(a^2 + 2a + 1 + b^2 + 18b + 81 + c^2 + 20c + 100 = d^2\)

Теперь заменим \(a^2 + b^2 + c^2\) в уравнении Пифагора на \(d^2\):
\(d^2 + 2a + 19b + 2c + 182 = d^2\)

Сократим \(d^2\) с обеих сторон:
\(2a + 19b + 2c + 182 = 0\)

Отсюда у нас получается система уравнений:
\(\begin{cases} 2a + 19b + 2c = -182 \quad (1) \\ a^2 + b^2 + c^2 = d^2 \quad (2) \end{cases}\)

Теперь приступим к нахождению объема и площади поверхности.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле:
\[V = abc\]

Площадь поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле:
\[S = 2(ab + ac + bc)\]

Для нахождения численных значений \(a\), \(b\) и \(c\) воспользуемся системой уравнений (1) и (2).

Подставим уравнение (2) в уравнение (1):
\[2a + 19b + 2c = -182 \quad (1)\]
\[2 \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + 19b + 2c = -182\]
\[\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{-182 - 19b - 2c}{2}\]
\[a^2 + b^2 + c^2 = \left(\frac{-182 - 19b - 2c}{2}\right)^2\]
\[a = \sqrt{\left(\frac{-182 - 19b - 2c}{2}\right)^2 - b^2 - c^2}\]

Теперь, подставим найденное значение a, b и c в формулы для объема и площади поверхности, чтобы получить окончательный ответ.

\[V = abc\]

\[S = 2(ab + ac + bc)\]