Яким є радіус основи циліндра, якщо діагональ його осьового перерізу дорівнює 13 см, а висота менша за радіус основи

Смешанная_Салат_2287

52

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу для расчета диагонали осевого сечения цилиндра и связать ее с радиусом основы.

Давайте обозначим радиус основы цилиндра как \(r\), а его высоту как \(h\).

Сообщено, что диагональ осевого сечения цилиндра равна 13 см. Поскольку осевое сечение является прямоугольным треугольником, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали:

\[
d^2 = r^2 + h^2
\]

где \(d\) - длина диагонали.

Также дано, что высота меньше радиуса основы на 1 см:

\[
h = r - 1
\]

Теперь мы можем подставить это значение \(h\) в уравнение для длины диагонали и решить его относительно \(r\):

\[
d^2 = r^2 + (r-1)^2
\]

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим:

\[
d^2 = r^2 + (r^2 - 2r + 1)
\]

\[
d^2 = 2r^2 - 2r + 1
\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить относительно \(r\). Подставим значение \(d = 13\) и решим уравнение:

\[
13^2 = 2r^2 - 2r + 1
\]

\[
169 = 2r^2 - 2r + 1
\]

\[
2r^2 - 2r - 168 = 0
\]

Мы можем разделить оба члена на 2, чтобы упростить уравнение:

\[
r^2 - r - 84 = 0
\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Можно использовать метод дискриминанта или решить его факторизацией. В данном случае мы воспользуемся методом дискриминанта:

Дискриминант \(D\) может быть найден как:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

где у нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = -1\), и \(c = -84\):

\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 1 + 336 = 337
\]

Теперь мы можем использовать формулы для дискриминанта, чтобы рассмотреть случаи:

1. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня.
2. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень.
3. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет решений.

В нашем случае \(D = 337\), поэтому у нас есть два различных корня.

Используя формулу для корней квадратного уравнения, мы можем выразить \(r\) следующим образом:

\[
r = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

Подставим значения в наше уравнение:

\[
r = \frac{{-(-1) \pm \sqrt{337}}}{{2 \cdot 1}}
\]

\[
r = \frac{{1 \pm \sqrt{337}}}{{2}}
\]

Таким образом, радиус основы цилиндра может быть равен \(\frac{{1 + \sqrt{337}}}{{2}}\) или \(\frac{{1 - \sqrt{337}}}{{2}}\).

Теперь, когда мы нашли значения радиуса основы, мы можем рассчитать площадь осевого сечения цилиндра, используя формулу:

\[
S = \pi r^2
\]

Подставим значения радиуса для всех возможных случаев и найдем площадь для каждого случая.