Каков объем прямоугольного параллелепипеда, если размер одной стороны его основания равен 4 см и угол между этой

Morskoy_Kapitan

51

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Нам дан прямоугольный параллелепипед, у которого одна из сторон основания равна 4 см, а угол между этой стороной и диагональю основания составляет 30 градусов.

Шаг 1: Найдем длину диагонали основания. Используем теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов.

Диагональ основания равна \[d = \sqrt{a^2 + b^2},\]
где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника основания.

В нашем случае \(a = 4\) см, и так как это прямоугольник, \(b\) также равно 4 см. Подставим эти значения в формулу:
\[d = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.\]

Таким образом, длина диагонали основания равна \(4\sqrt{2}\) см.

Шаг 2: Найдем высоту параллелепипеда. Мы знаем, что плоскость сечения образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен 90 градусов, так как сечение перпендикулярно основанию.

Высота параллелепипеда равна \(h = d \cdot \sin(60^\circ)\), где \(d\) - диагональ основания.

Подставим значение длины диагонали основания \(4\sqrt{2}\) в формулу:
\[h = 4\sqrt{2} \cdot \sin(60^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6}.\]

Таким образом, высота параллелепипеда равна \(2\sqrt{6}\) см.

Шаг 3: Найдем объем параллелепипеда. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: \[V = S \cdot h,\]
где \(S\) - площадь основания.

Площадь основания равна \(S = a \cdot b\), так как у нас прямоугольное основание размерами \(a\) и \(b\).

Подставим значения \(a = 4\) см и \(b = 4\) см в формулу:
\[S = 4 \cdot 4 = 16\]

Теперь подставим значения площади основания \(16\) см² и высоты \(2\sqrt{6}\) см в формулу объема:
\[V = 16 \cdot 2\sqrt{6} = 32\sqrt{6}\]

Окончательный ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен \(32\sqrt{6}\) кубических сантиметров.

Я надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать.