35, :) 1. Напишите уравнения параллельных плоскостей параллелепипеда a...d1. 2. Верны ли следующие утверждения

Искандер

13

1. Для написания уравнений параллельных плоскостей параллелепипеда a...d1, нам необходимо знать координаты точек, через которые проходят эти плоскости. Предположим, что точки a, b, c находятся на первой плоскости, а точки d, e, f - на второй плоскости.

Уравнения плоскости, проходящей через точки a, b и c, можно записать следующим образом:
\[Ax + By + Cz + D_1 = 0\]
где A, B, C - коэффициенты, определяющие нормаль к плоскости, а D_1 - свободный член.

Аналогично, уравнения плоскости, проходящей через точки d, e и f, могут быть записаны как:
\[Ax + By + Cz + D_2 = 0\]
где A, B, C - коэффициенты, определяющие нормаль к плоскости, а D_2 - свободный член.

Если плоскости параллельны, тогда их нормали должны быть параллельными векторами. Это означает, что коэффициенты A, B и C в обоих уравнениях должны быть пропорциональными.

Таким образом, уравнения параллельных плоскостей параллелепипеда a...d1 могут быть записаны в следующем виде:

\[
\begin{align*}
A_1x + B_1y + C_1z + D_1 &= 0 \\
A_2x + B_2y + C_2z + D_2 &= 0 \\
\end{align*}
\]

где \(A_1 = k \cdot A_2\), \(B_1 = k \cdot B_2\), и \(C_1 = k \cdot C_2\) для некоторого постоянного \(k\).

2. Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности:

2.1) Через точку, которая не принадлежит данной плоскости, проходит только одна параллельная плоскость.

Это утверждение неверно. Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит бесконечное количество параллельных плоскостей. Например, рассмотрим плоскость, проходящую через данную точку и параллельную данной плоскости. Мы можем сдвинуть эту плоскость на некоторое расстояние вдоль направления нормали, и она все равно будет параллельной и проходить через данную точку.

2.2) Если две прямые в одной плоскости параллельны двум другим прямым в другой плоскости, то эти плоскости также параллельны.

Это утверждение верно. Если в двух плоскостях параллельны соответствующие прямые, то и сами плоскости параллельны. Прямые, параллельные одной и той же прямой, расположенной вне этих плоскостей, будут параллельными, и, следовательно, плоскости также будут параллельными.

2.3) Существует бесконечное количество прямых, параллельных данной плоскости и проходящих через точку, не принадлежащую этой плоскости.

Это утверждение верно. Если точка не принадлежит плоскости, то через нее можно провести бесконечное количество прямых, параллельных данной плоскости. Это объясняется тем, что мы можем сдвигать и поворачивать прямую вдоль плоскости и оставаться параллельными к ней.

2.4) Если одна из двух данных плоскостей параллельна двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то эти плоскости...

Первый утверждение было случайно обрезано. Пожалуйста, продолжите его и я дам ответ на него.